原始関数を逆算して解く定積分

\begin{align*} I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x^2}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}dx \end{align*}
（ヨビノリたくみさんの「今週の積分」にもあるようですね）

さて、被積分関数を観察してみましょう。すると、分母に関数がでっかく二乗の形で居座っています。どこかでみましたよね、これ。
そう、分数関数の微分です。
\begin{align*} \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{align*}
ほら、分母に関数の二乗がいます。このことから、「今回の被積分関数の原始関数の分母は$x\sin{x}+\cos{x}$かもしれない」という予想がたてられるわけです。次に分子。被積分関数の分子は$x^2$のみととてもきれいになっています。微分したときに出てくる三角関数たちをうまく打ち消しているのでしょうか。それを予想すると、分子も三角関数の式だろうなあと予想がつきます。また、先ほど予想した分子の関数と三角関数の積はどうやっても$x^2$が出ないことから、分子には$x$も含まれているのではないかと予想できます。しかし、$x$が単体で分子にいる可能性がありますが、そうすると微分したときにただの$1$となって打ち消してくれない可能性があります。それも考慮すると、予想される原始関数はとある定数$a,b$を使し次の三つのうちのどれかだと予想できます。
\begin{align*} [1]&,\frac{ax\sin{x}+b\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\\ [2]&,\frac{a\sin{x}+bx\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\\ [3]&,\frac{ax\sin{x}+bx\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}} \end{align*}
まあ、一つずつ微分して本当に原始関数となりうるかを考えていきましょう。
まずは$[1]$から。微分すると
\begin{align*} \left(\frac{ax\sin{x}+b\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\right)'&=\frac{(ax\sin{x}+b\cos{x})'\cdot(x\sin{x}+\cos{x})-(ax\sin{x}+b\cos{x})\cdot(x\sin{x}+\cos{x})'}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}\\ &=\frac{(a-b)x+(a-b)\sin{x}\cos{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})^2} \end{align*}
頑張って計算し、$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$などに注意するとこのようになります。見てみると、$x^2$がいません。この形ではだめだったんですね。では次に$[2]$を試しましょう。
$[2]$を微分すると
\begin{align*} \left(\frac{a\sin{x}+bx\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\right)'&=\frac{(a\sin{x}+bx\cos{x})'\cdot(x\sin{x}+\cos{x})-(a\sin{x}+bx\cos{x})\cdot(x\sin{x}+\cos{x})'}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}\\ &=\frac{-bx^2+(a+b)\cos^2{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})^2} \end{align*}
おっ｡ これはよさげですね!!
ほしかったのは$\displaystyle\frac{x^2}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}$だったので係数を比較すると次の連立方程式が成り立ことがわかります。
\begin{align*} \begin{cases} -b=1\\ a+b=0 \end{cases} \end{align*}
これは楽勝で、解くと$a=1,b=-1$がわかります。よって、
\begin{align*} [2]=\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}} \end{align*}
また
\begin{align*} \left(\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\right)'=\frac{x^2}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}\quad(*) \end{align*}
のため、ほしかった原始関数が求まりました。ようやく積分が実行できます。
($[3]$が不適であることは読者への課題としますかね...)
忘れているかもしれませんが今回はこんな定積分を解くのが目標でした。
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x^2}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}dx \end{align*}
先ほどの結果$(*)$を用いると
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\right)'dx\\ &=\left[\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\ &=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\pi}{4}}\\ &=\frac{4-\pi}{4+\pi} \end{align*}
よって、
\begin{align*} \huge I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x^2}{(x\sin{x}+\cos{x})^2}dx=\frac{4-\pi}{4+\pi} \end{align*}
が求まりました。