条件付き確率（2度あることは3度ある？）
$n$種類の箱$B_{k}$ $(k=1 , 2, \cdots,n )$の中には赤玉$k$個，白玉$n-k$個入っている．$B_{k}$はそれぞれ1個ある．
これらの中から無作為に1個の箱をえらび，箱の中から無作為に1個の玉を取り出し，色を調べてもとに戻す．この操作を$m$回行ったら$m$回とも赤玉であった．$m+1$回目も赤玉を取り出す確率$P_n$について，$$\lim_{n \to \infty}P_n$$を求めよ．
箱$B_{k}$ を選び，$m$回の操作で$m$回とも赤玉を取り出す確率$q_k$は，
$$ q_k= \frac{1}{n} (\frac{k}{n})^m$$
したがって，$m$回の操作で$m$回とも赤玉を取り出す確率$Q$は，
$$Q= \sum_{k=1}^{n}q_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n} (\frac{k}{n})^m $$
$m$回とも赤玉を取り出したときに，箱が$B_{k}$である確率$r_k$は，
$$r_k= \frac{q_k}{Q} $$
$m+1$回目も赤玉を取り出す確率$P_n$は，
$$P_n=\sum_{k=1}^{n}r_k(\frac{k}{n}) =\frac{1}{Q}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} (\frac{k}{n})^{m+1}= \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} (\frac{k}{n})^{m+1}}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n} (\frac{k}{n})^m } $$
$$P_n \rightarrow \frac{ \int_{0}^{1} x^{m+1}dx}{\int_{0}^{1} x^{m}dx}= \frac{m+1}{m+2} $$
