ｅの無理数性の証明/大阪大97年後期第２問

［解答］
（１）
１つめについて
関数$f_n(x)=x^ne^{1-x} $を微分する．
$$f_n'(x)=nx^{n-1}e^{1-x}+x^n(-e^{1-x})$$
$$f_n'(x)=(n-x)x^{n-1}e^{1-x}$$
$0\leqq x \leqq 1$において,$f_n'(x) \geqq 0$が成り立つ．
$f_n(x) $は単調に増加するので，
$f_n(0)\leqq f_n(x) \leqq f_n(1)$ $$0\leqq f_n(x) \leqq 1.□□$$
２つめについて
$f_n(x)$は「恒等的に0」でもなく「恒等的に1」でもないので，
$$ \int_{0}^{1}0dx< \int_{0}^{1}f_n(x)dx<\int_{0}^{1}1dx$$
$$ 0< I_n<1.□□$$
（２）
$I_n$と$I_{n+1}$の関係は，$I_n$の式から，
$$I_{n+1}= \int_{0}^{1} x^{n+1} e^{1-x}dx $$
$$I_{n+1}= \int_{0}^{1} x^{n+1}(-e^{1-x})'dx $$
$$I_{n+1}= [x^{n+1}(-e^{1-x})]_0^1+ (n+1) \int_{0}^{1} x^{n} e^{1-x}dx $$
$$I_{n+1}= -1+({n+1})I_{n} $$
$$I_{n+1}= (n+1)I_{n}-1 $$
（３）
(2)から，
$$ \frac{I_{n+1}}{(n+1)!}- \frac{I_n}{n!}=-\frac{1}{(n+1)!}$$
$n \geqq 2$に対して,
$$ \frac{I_{n}}{n!}=\frac{I_1}{1!}+ \sum_{i=1}^{n-1} \lbrace -\frac{1}{(i+1)!} \rbrace $$
$$ \frac{I_{n}}{n!}=I_1- \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i!} $$
$$ \frac{I_{n}}{n!}=I_1+2- (1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots +\frac{1}{n!} ) $$
ここで，
$$I_1= \int_{0}^{1} xe^{1-x}dx $$
$$I_{1}= [x(-e^{1-x})]_0^1+ \int_{0}^{1} e^{1-x}dx $$
$$I_{1}= [x(-e^{1-x})-e^{1-x}]_0^1=-2+e $$
よって，
$$ \frac{I_{n}}{n!}=(e-2)+2- (1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots +\frac{1}{n!} ) $$
$$ \frac{I_{n}}{n!}=e- (1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots +\frac{1}{n!} ) $$
よって，等式は成り立つ．□□
（４）
「背理法」で示す．
ある自然数$N>1$で，$N!e$が整数であると仮定する．
$$ I_{N}=N!e- N!(1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots +\frac{1}{N!} ) $$
右辺は，整数なので，$ 0< I_N<1$は成り立たない．
仮定は正しくない．
したがって，$N!e$を整数にするような自然数$N$は存在しない．
よって，証明された．□□
［追加］
自然対数の底$e$は有理数ではない．無理数である．