割り算のあまりを複素数に拡張する（失敗）

割り算のあまりを複素数に拡張する

低学歴の思いつきによる記事なので、論理、表記ともに正しくないものを含む可能性があります。

結論

自然数の割り算とそのあまりを議論すれば十分。
ここから先は暇な方だけ読むこと推奨
同じ失敗で時間を浪費する方がでないよう記録を残すのが目的

自然数の場合について

初等教育以来、慣れ親しんだ上記の方法を参考に考える。
拡張を意識しながらあまりを出す手順を整理する。

あまりの候補となる数の集合$S$を考える。あまりは$n$から$p$を有限回引いた数なので
引き算を何回か行った数を集めれば、それがあまりの候補となる。それを集合$S$とすると
$S=\{\lambda \mid \lambda =n-pk(k=0,1,2,3,\dots )\}$
集合$S$の0以上の要素のうち、最小のものが「あまり」となる。
共通のあまりをもつ数の集合を考えると、いろいろと便利なことがある。

複素数への拡張

ここからは複素数平面をイメージしながら考える。
複素数$n$を複素数$p$で割ったあまりを考える。$n$、$p$はそれぞれ複素数平面上の点である。
あまりの候補となる数の集合を$S$として
$S=\{\lambda \mid \lambda =n-pk(k=\dots -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots )\}$
を考える（複素数への拡張なのでなんとなく$k$の範囲を整数に拡げた）。
$n-pk$は$n$から$\overrightarrow{op}$の整数倍だけ移動した点であるので、$S^{\prime }$の要素はすべて
$n$を通る1つの直線上に等間隔に配置している。
$S^{\prime }$の中で実部が0以上要素のうち、最小の実部をもつものをあまりとする。

共通のあまりを持つ数の集合

共通のあまりをもつ数の集合について考える。

あまりについて考える際に重要になるのは、主にこの種の集合の共通部分に関する議論である。
そこで$⟨p,r⟩\cap ⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$について考える。
複素数平面上で$⟨p,r⟩$、$⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$の要素はそれぞれ1本の直線上にある。
それぞれの直線が一致しない場合には共通する要素は高々1個であり、
そこから議論を広げる余地はほぼない。
$⟨p,r⟩\cap ⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$が複数の要素をもつには
$p$は$p^{\prime }$の有理数倍で、$⟨p,r⟩$と$⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$が少なくとも１つの共通要素をもつ必要があると思われる。
この場合について考えていく。
$⟨p,r⟩$、$⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$の共通部分について考える。
自然数$a$、整数$b$として
$p^{\prime }={\displaystyle \frac{b}{a}\cdot p(\left|\frac{b}{a}\right|<1)}$
とおける。
$p_0={\displaystyle \frac{1}{a}\cdot p}$
なる$p_0$を考えると
$p=a{p}_0$、$p^{\prime }=b{p}_0$
であり、$⟨p,r⟩\cap ⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$の一つの要素を$c$とすると
$⟨p,r⟩$の任意の要素は整数$s$を用いて$c+sp$の形で表せる。
また、$⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$の任意の要素は整数$t$を用いて$c+t{p}^{\prime }$の形で表せる。
これらを$p_0$で表すと
$c+sp=c+sa{p}_0$
$c+t{p}^{\prime }=c+tb{p}_0$
よって$⟨p,r⟩$と$⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$に含まれる任意の要素は、整数$u$を用いて$c+up$の形で表すことができ、
$u$が$a$の倍数であればその数は$⟨p,r⟩$に含まれ、
$u$が$b$の倍数であればその数は$⟨p^{\prime },r^{\prime }⟩$に含まれる。
以上の議論から
$p_0$を基準にすると、あまりに関する集合の議論は整数の議論に帰着する。