等差×等比数列の和の美しい別解

144

お久しぶりです、半額です。
早速ですが、こちらの問題を持ってきました。皆さんも一度はご覧になったことがあるのではないでしょうか？

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot x^{k} (x \neq 1)$ を求めよ．

等差×等比数列の和の解き方の有名なものとして以下があります。

$S_{n} = 1 \cdot x^{1} + 2 \cdot x^{2} + \dots + (n - 1) \cdot x^{n - 1} + n \cdot x^{n}$
$x S_{n} = 1 \cdot x^{2} + 2 \cdot x^{3} + \dots + (n - 1) \cdot x^{n} + n \cdot x^{n + 1}$
$(1 - x) S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x^{k} - n \cdot x^{n + 1}$

$∴ S_{n} = \frac{x (1 - x^{n})}{(1 - x)^{2}} - \frac{n \cdot x^{n + 1}}{1 - x}$

ちなみにこれは $x$ を微分することで解くこともできます（今回は省略します）。

さて本題です。
階差数列や部分分数分解を思い出してください。これらは和をとったときに項が相殺していくんでした。これを応用できないか考えます。

$k \cdot x^{k} = \frac{x}{x - 1} (k \cdot x^{k} - (k - 1) \cdot x^{k - 1} - x^{k - 1})$
と変形すると、
$S_{n}$
$= \frac{x}{x - 1} \sum_{k = 1}^{n} (k \cdot x^{k} - (k - 1) \cdot x^{k - 1}) - \frac{x}{x - 1} \sum_{k = 1}^{n} x^{k - 1}$
ここで
$\sum_{k = 1}^{n} (k \cdot x^{k} - (k - 1) \cdot x^{k - 1})$
$= (n \cdot x^{n} - (n - 1) \cdot x^{n - 1}) + ((n - 1) \cdot x^{n - 1} - (n - 2) \cdot x^{n - 2}) + \dots + (x - 0)$
$= n \cdot x^{n}$
であるから、
$S_{n}$
$= \frac{x}{x - 1} (n \cdot x^{n}) - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1 - x^{n}}{1 - x}$
$= \frac{x (1 - x^{n})}{(1 - x)^{2}} - \frac{n \cdot x^{n + 1}}{1 - x}$

同じような解答として、 $k \cdot x^{k} = a_{k + 1} - a_{k}$ と階差の形でおく方法もあります。そうおいたときに一般項が即座に求められることを知っていればいいのですが、なかなかできることではないでしょう。
そんなときにこの解答です。階差数列を設定するという自然な考えであり、かつ余った項はただの等比数列の和になっていますから、即座に計算できますね。