パスカルの三角形の縦の畳み込み

1. 母関数を用いる方法が考えられます。
   ステップ
   (1). カタラン数の母関数 $C(x)$ は、$C(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{2n \choose n}\frac{x^{n}}{n+1}$ で与えられます。
   (2). 別の視点として、中心二項係数の母関数 $G(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{2n \choose n}x^{n}$を考えます。この母関数は、$G(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ となります。
   (3). 与えられた和は、中心二項係数の畳み込みの形をしています。すなわち、$\sum _{k=0}^{n}{2k \choose k}{2n-2k \choose n-k}$ は、$G(x)^{2}$ の $x^{n}$ の係数に相当します。
   (4). $G(x)^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\right)^{2}=\frac{1}{1-4x}$ となります。
   (5). $\frac{1}{1-4x}$ のテイラー展開は、$\sum _{n=0}^{\infty}(4x)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}x^{n}$ です。
   (6). したがって、$G(x)^{2}$ の $x^{n}$ の係数は $4^{n}$ となります。
   最終的な答え
   与えられた等式 $\sum _{k=0}^{r}{2k \choose k}{2r-2k \choose n-k}=4^{r}$ は、中心二項係数の母関数を用いることで証明されます。この和は、中心二項係数の母関数 $G(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{2r \choose r}x^{r}$ の $2$ 乗の $x^{r}$ の係数に等しく、その値は $4^{r}$ となります。

他にも.
2. ヴァンデルモンドの恒等式を用いた証明
ステップ 1:ヴァンデルモンドの恒等式の提示$\sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}={m+n \choose r}$
ステップ 2:ヴァンデルモンドの恒等式への適用 与えられた恒等式 $\sum _{k=0}^{n}{2k \choose k}{2n-2k \choose n-k}=4^{n}$ を証明するために、ヴァンデルモンドの恒等式を適用します。この恒等式は、カタラン数の畳み込みに関連しています。
ステップ 3:母関数を用いた証明 カタラン数の母関数 $C(x)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}x^{n}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ を用いると、${2n \choose n}$ はカタラン数 $C_{n}$ と関連付けられます。具体的には、$C_{n}=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ です。
ステップ 4: 畳み込みの適用 与えられた恒等式の左辺は、$\sum _{k=0}^{n}{2k \choose k}{2n-2k \choose n-k}$ と書かれ、これは二項係数の畳み込みと見なされます。 ステップ 5: 恒等式の証明 この恒等式は、$(1-4x)^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }{2n \choose n}x^{n}$ という関係を用いて証明されます。この式の二乗は、$(1-4x)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}x^{n}$ となります。左辺の二乗は、$\left(\sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}x^{k}\right)\left(\sum _{j=0}^{\infty }{2j \choose j}x^{j}\right)$ となり、その $x^{n}$ の係数は $\sum _{k=0}^{n}{2k \choose k}{2n-2k \choose n-k}$ です。したがって、この係数は $4^{n}$ に等しくなります。
最終的な答え
$\sum _{k=0}^{n}{2k \choose k}{2n-2k \choose n-k}=4^{n}$ は、母関数を用いた二項係数の畳み込みによって証明されます。