パスカルの三角形の縦の畳み込み

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中心二項係数の畳込みから広げた、パスカルの三角形の性質のお話をいたします。
赤枠は枠内の数を青矢印を掛け算して、全て足した数が計算した数、
緑枠は枠内の数を全て足した数が答えです。

$4^{r}$ = $\sum_{k = 0}^{r} (\binom{2 k}{k}) (\binom{2 r - 2 k}{r - k})$

!FORMULA[2][-830362772][0]=!FORMULA[3][945995870][0] $4^{2}$ = $\sum_{k = 0}^{2} (\binom{2 k}{k}) (\binom{4 - 2 k}{2 - k})$
上記の定理を更に広げて、中心二項係数だけでなく他のパスカルの三角形の縦の並びの数を畳み込みをしてみたら下記のような性質を見つけました。

$4^{r}$ = $\sum_{k = 0}^{2 r} (\binom{2 r}{k})$
$= 2 (\sum_{k = 0}^{r - 1} (\binom{2 r}{k})) + (\binom{2 r}{r})$
$2 r$ を $n$ に置き換えて
$= 2 (\sum_{k = 0}^{r - 1} (\binom{n}{k})) + (\binom{n}{r}) [r ＜ \frac{n}{2}]$

$[r ＜ \frac{n}{2}]$ を前提として

$2 (\sum_{k = 0}^{r - 1} (\binom{n}{k})) + (\binom{n}{r})$ $= \sum_{k = 0}^{r} (\binom{2 k}{k}) (\binom{n - 2 k}{r - k})$

!FORMULA[13][-873584245][0] !FORMULA[14][-650044464][0] $2 (\sum_{k = 0}^{2 - 1} (\binom{7}{k})) + (\binom{7}{r})$ $= \sum_{k = 0}^{2} (\binom{2 k}{k}) (\binom{7 - 2 k}{2 - k})$
また移項して、
$2 = \frac{((\sum_{k = 0}^{r} (\binom{2 k}{k}) (\binom{n - 2 k}{r - k})) - (\binom{n}{r}))}{\sum_{k = 0}^{r - 1} (\binom{n}{k})} [k ＜ \frac{n}{2}]$
とも言えます。
さらに広げて
$n = A + B$ で $[A ≦ B]$ と定義します。

$2 (\sum_{k = 0}^{r - 1} (\binom{A + B}{k})) + (\binom{A + B}{r})$ $= \sum_{k = 0}^{r} (\binom{A + 2 k}{k}) (\binom{B - 2 k}{r - k})$

!FORMULA[20][1780606571][0] !FORMULA[21][-1157793751][0] $2 (\sum_{k = 0}^{2 - 1} (\binom{1 + 6}{k})) + (\binom{1 + 6}{2})$ $= \sum_{k = 0}^{2} (\binom{1 + 2 k}{k}) (\binom{6 - 2 k}{2 - k})$

パスカルの三角形で見ると、
ヴァンデルモンドの恒等式は横
ホッケースティック恒等式が斜め
ならば縦の畳み込みはあるかな?と思ったら見つけました。

投稿日：2月22日

更新日：14日前

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