備忘録:三十二元数

以下、適当な三十二元数を$x,y,z,w,α$で置く。
以下が分かっている。

・加法に対して、可換である。
$x+y=y+x$

・加法に対して、結合的である。
$(x+y)+z=x+(y+z)$

・加法に対して、両側単位元が一意的に存在する。
$x+0=0+x=x$

・加法に対して、任意の元が両側逆元を持つ。
$x+(-x)=(-x)+x=0$

・乗法に対して、可換である場合が存在する。
$xy=yx$

・乗法に対して、反可換である場合が存在する。
$xy=-yx$

・乗法に対して、結合的である場合が存在する。
$(xy)z=x(yz)$

・乗法に対して、反結合的である場合が存在する。
$(xy)z=-x(yz)$

・乗法に対して、両側単位元が一意的に存在する。
$x\times 1=1\times x=x$

・乗法に対して、零因子を持つ。
$∃x,y\neq0, xy=0$

・分配律が成り立つ。
$x(y+z)=xy+xz$
$(x+y)z=xz+yz$

・乗法に対して、べき結合律を満たす。
$(xx)x=x(xx)$
(余談:これが成り立つため、$x^{n}$をきちんと定義できる)

・乗法に対して、指数法則が成り立つ。
$x^{n}x^{m}=x^{n+m}$
($n,m$は正整数。より拡張した場合についてご存知の方はご一報ください)

・乗法に対して、必ずしも交代性を持つわけではない。
$(xx)y\neq x(xy)$
$y(xx)\neq (yx)x$

・乗法に対して、柔軟律(Flexible律)が成り立つ。
$(xy)x=x(yx)$

・乗法に対して、Jordanの恒等式を満たす。
$(x^{2}y)x=x^{2}(yx)$

・Hallの恒等式を満たす。
$(xy-yx)^{2} z=z(xy-yx)^{2}$

・小Racine恒等式を満たす。
$[[x,y]‪𓏸[z,w],α]=0$
$[x,y]:=xy-yx,x‪𓏸y:=xy+yx$

・大Racine恒等式を満たす。
$P(w^{2})-P(w)‪𓏸w=0$
$V_{x}(y):=x‪𓏸y$
\begin{split} P:=V_{x}V_{y}V_{z}-V_{x}V_{z}V_{y}-V_{y}V_{x}V_{z}+\\V_{y}V_{z}V_{x}+V_{z}V_{x}V_{y}-V_{z}V_{y}V_{x} \end{split}
($P$において、引数略)
(誤りを含む可能性があるため、この式は要検討)

・HP23を満たす。
\begin{align} &2((x,y,x),z,w)+2(z,(x,y,x),w)-\\&([x,y]‪𓏸x,z,w)-([x,y]‪𓏸z,x,w)+\\&([x,y],x‪𓏸z,w)=0 \end{align}
$(x,y,z):=(xy)z-x(yz)$

(余談:HP23の名前は、Hentzel氏とPeresi氏による参考文献[4]の式番号23による)

・基底32個から得られる位数64の有限ループを持ち、またそのループは373個の非自明な部分ループを含む非結合可逆ループである。
その部分ループの内訳として、
位数32のループが31個、
位数16のループが155個、
位数8のループが155個、
位数4のループが31個、
位数2のループが1個である。
位数32と16のループは非結合可逆ループだが、位数8、4、2は群を成す。
また、これらは モジュラー格子 を持つ。