オイラー線と根心の性質の初等幾何的証明

$K_A$と$BC$の交点を$A_b,A_c$とする．
ただし，$\overrightarrow{A_bA_c}$と$\overrightarrow{BC}$は向きが等しいとする．
また，巡回的に点$B_c,B_a,C_a,C_b$を定める．
$\triangle{ABC}$の重心，垂心を$G,H$とする．
$\triangle{A_1B_1C_1}$の垂心を$H_1$とする．

$B_aC_b$と$C_aB_c$の交点を$A_1$とし，同様に$B_1,C_1$を定める．
このとき$\overrightarrow{AB_a}=\frac{1}{2}(1-2\tau)\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC_b}=\frac{1}{2}(1+2\tau)\overrightarrow{AB}$
$\triangle{A_1B_aC_a} \sim \triangle{A_1C_bB_c}$で相似比は$1-2\tau:1+2\tau$であるから，
$$\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2} ((1+2\tau)\overrightarrow{AB_a}+(1-2\tau)\overrightarrow{AC_b})$$
$$=\frac{1-4\tau^2}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{3-12\tau^2}{4}\overrightarrow{AG}$$
よって，$A_1$は$AG$を$3-12\tau^2:1+12\tau^2$に内分し，
$\triangle{A_1B_1C_1}$は$\triangle{ABC}$を$G$を中心に$\frac{1+12\tau^2}{4}$倍に相似拡大した三角形である．

$B_aC_b$と$K_C$の$C_b$でない交点を$X$
$C_aB_c$と$K_B$の$B_C$でない交点を$Y$とする．
$\angle{B_aXC_a}=\angle{B_aYC_a}=90^\circ$より，$B_a,C_a,X,Y$は共円．
reimの定理より，$C_b,B_c,X,Y$は共円．
根心の存在定理より，$A_1$は$K_B,K_C$の根軸上．
ゆえに，$K_B,K_C$の根軸は,$A_1$から$EF$に引いた垂線である．
相似拡大から$EF\parallel B_1C_1$であるため，
この直線は$H_1$を通る．同様に，$K_C$と$K_A$の根軸も$H_1$を通るため，
$K_A,K_B,K_C$の根心は$H_1$に一致する．
相似拡大より，$G,H,H_1$は共線であるから示された．