2^n-23がとりうる最大の平方数は2025

$1,2,4 \equiv 2^n \equiv x^2+23 \equiv 2,3,4,6 \pmod{7} $$ \Longrightarrow 2^n≡2,4 \Longrightarrow n≡1,2 \pmod{3} $
$n \equiv 1 \pmod{3} $と仮定すると
$2,7 \equiv 2^n \equiv x^2+23 \equiv 0,3,5,6 \pmod{9} $
となり矛盾。

存在することの証明

$x_1=3,y_1=1$
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_{k+1}=\dfrac{3x_k-23y_k }{2} \\ y_{k+1}=\dfrac{x_k+3y_k}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
を満たす数列における$( \left| x_m \right|, \left| y_m \right| )$ が題意を満たすことを示す。特に$x_m^2+23y_m^2=2^{3m+2}$を満たし、$x_m,y_m$が奇数になることを示せば良い。
$$8(x_k^2+23y_k^2)=\displaystyle \bigg( \frac{3x_k-23y_k}{2} \bigg)^2+23\bigg( \frac{x_k+3y_k}{2}\bigg )^2=x_{k+1}^2+23y_{k+1}^2$$
と$x_1^2+23y_1^2=32$と合わせて帰納的に$x_m^2+23y_m^2=2^{3m+2}$を満たし、
$$x_{k+1}-y_{k+1}=x_k-13y_k \equiv x_k-y_k \pmod{4} \Longrightarrow x_m-y_m≡x_1-y_1≡2 \pmod{4} $$であり、$m \geq 2$のとき
$$2x_m=3x_{m-1}-23y_{m-1}≡-(x_{m-1}-y_{m-1})≡2 \pmod{4} \Longrightarrow x_m≡1 \pmod{2} $$
$$2y_m=x_{m-1}+3y_{m-1}≡x_{m-1}-y_{m-1}≡2 \pmod{4} \Longrightarrow y_m≡1 \pmod{2} $$
より$m \geq 2 $のとき$x_m,y_m$が奇数であることが示せ、$m=1$のときは明らかに奇数であるから示せた。

$2$つ以上存在しないことの証明

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+23y^2=2^{3m+2} \\ x'^2+23y'^2=2^{3m+2} \end{array} \right. \end{eqnarray}\cdots (i)$$
となる正の奇数の組$(x,y,x',y'),x≠x',y≠y'$が存在したとして矛盾を示す。$2$つの式を上手く足し合わせると
$$ (xy'+x'y)(xy'-x'y)=2^{3m+2}(y'^2-y^2) \cdots (ii) $$
ここで$xy'=x'y$と仮定すると$(ii)$から$y=y'$となるので矛盾。$y'^2-y^2$は$8$の倍数であるから$(ii)$の右辺は$2^{3m+5}$の倍数。よって$(xy'+x'y)(xy'-x'y)$は$2^{3m+5}$の倍数であるが$\gcd(xy'+x'y,xy'-x'y)=2$より$xy'+x'y,xy'-x'y$のうち一方は$2^{3m+4}$の倍数である。よって$$\max(xy'+x'y , \left| xy'-x'y \right|) \geq 2^{3m+4} $$が成り立つ。($xy'-x'y≠0$に注意する。)よって
$$\max(xy',x'y) \geq 2^{3m+3} $$が言える。任意の正の整数$a,b$において$\max(a^2,b^2) \geq ab$が成り立つから$$\max(x^2,y^2,x'^2,y'^2) \geq \max(xy',x'y) \geq 2^{3m+3} $$
であるが、$(i)$から大小関係より明らかに矛盾である。

　よって先ほどの結果から$x^2+23y^2=2^{3m+2}$を満たす$x,y$は
$x_1=3,y_1=1$
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_{k+1}=\dfrac{3x_k-23y_k }{2} \\ y_{k+1}=\dfrac{x_k+3y_k}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
を満たす数列における$( \left| x_m \right|, \left| y_m \right| )$のみが解である。$2$つ目の式から$2y_{k+1}-3y_k=x_k$でありそれを$1$つ目の式に代入すると
$$2y_{k+2}-3y_{k+1}=\dfrac{6y_{k+1}-9y_k-23y_k}{2} \Longrightarrow y_{k+2}=3y_{k+1}-8y_k$$となり、$y_1=1,y_2=3$であるから補題を得る。

$y_{i+2}≡3y_{i+1}-8y_i≡ y_i \pmod{3} $かつ$y_1=1,y_2=3$であるから$y_m≡-1 \pmod{3} $となる$m$は存在せず、特に$y_m=-1$となる$m$も存在しない。

数列$ \lbrace y_i \rbrace $は三項間漸化式であるから解くと$y_i= \dfrac{\bigg( \dfrac{3+ \sqrt{-23} }{2} \bigg)^i-\bigg( \dfrac{3- \sqrt{-23} }{2} \bigg)^i}{ \sqrt{-23} } $
二項定理で展開して整理すると
$ \dfrac{\bigg( \dfrac{3+ \sqrt{-23} }{2} \bigg)^i-\bigg( \dfrac{3- \sqrt{-23} }{2} \bigg)^i}{ \sqrt{-23} }$ $=\displaystyle \frac{ \sum_{k=0}^{i} {}_i \mathrm{ C }_j (\sqrt{-23})^k 3^{i-k} -\sum_{k=0}^{i} {}_i \mathrm{ C }_k (-1)^k (\sqrt{-23})^k3^{i-k} }{ 2^i \sqrt{-23} } $
$=\displaystyle \frac{ \sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{i}{2} \rbrack}( {}_{i } \mathrm{ C }_{2k}(\sqrt{-23})^{2k}3^{i-2k}- {}_{i } \mathrm{ C }_{2k}(-1)^{2k}(\sqrt{-23})^{2k}3^{i-2k}) + \sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{i-1}{2} \rbrack}( {}_{i } \mathrm{ C }_{2k+1}(\sqrt{-23})^{2k+1}3^{i-2k-1}- {}_{i } \mathrm{ C }_{2k+1}(-1)^{2k+1}(\sqrt{-23})^{2k+1}3^{i-2k-1}) }{2^i\sqrt{-23}}$
$=\displaystyle \frac{ 2\sqrt{-23}\sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{i-1}{2}\rbrack } {}_i \mathrm{ C }_{2k+1}3^{i-2k-1}(-23)^k}{2^i\sqrt{-23}} $
$=\displaystyle \frac{1}{2^{i-1}} \sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{i-1}{2}\rbrack } {}_i \mathrm{ C }_{2k+1}3^{i-2k-1}(-23)^k $

$ \mod{47}$を考える。$y_m=1$のとき特に$y_m \equiv 1 \pmod{47} $である。数列$\lbrace y_i \rbrace$の法$47$を頑張って計算すると

のようになり、周期$46$であり、余りが$1$になるのは$m \equiv 1,3 \pmod{2\cdot 23} $である。
次に法$23$を考える。補題4より
$2^{m-1}=2^{m-1}\displaystyle y_m= \sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{m-1}{2}\rbrack } {}_m \mathrm{ C }_{2k+1}3^{m-2k-1}(-23)^k ≡m3^{m-1} \pmod{23} $$ \Longrightarrow 2^{m-1}≡m3^{m-1} \pmod{23} $
$2^i,3^i$の法$23$は以下のようになる。

周期は$11$である。先ほどの議論から特に$m≡1,3 \pmod{23} $が成り立つ。
・$m≡1\pmod{23}$のとき
$2^{m-1}≡3^{m-1} \pmod{23} $が成り立つので先ほどの表から$$m-1≡0 \pmod{11} \Longrightarrow m≡1 \pmod{11} \Longrightarrow m≡1 \pmod{2\cdot 11 \cdot 23} $$
・$m≡3 \pmod{23} $のとき
$2^{m-1}≡3^{m} \pmod{23} $が成り立つので先ほどの表から$$m-1≡2 \pmod{11} \Longrightarrow m≡3 \pmod{11} \Longrightarrow m≡3 \pmod{2\cdot 11 \cdot 23} $$
以上より補題を得る。

$k=1$のときは明らかに成り立つ。
$k \geq 2$のときルジャンドルの定理から
$\upsilon _{23}((2k+1)!)= \displaystyle\sum_{i=1}^{∞} \bigg\lbrack \frac{2k+1}{23^i} \bigg\rbrack $$ \leq \displaystyle\sum_{i=1}^{∞} \frac{2k+1}{23^i} = \frac{2k+1}{22} \leq k-1$
より補題を得る。

まず$y_1=y_3=1$は簡単に確認できる。それ以外に存在すると仮定する。$y_m=1,m≠1,3$とすると補題5より$23$の倍数でない正の整数$t$と正の整数$l$を用いて$m=22t \cdot 23^l+s\quad s \in \lbrace 1,3 \rbrace $
と表せる。$a=22t\cdot 23^l$としたとき、オイラーの定理より$23$と互いに素な整数$k$において$k^a \equiv 1 \pmod{23^{l+1}} $が成り立つことに注意して補題4にその$m$を代入することを考える。
・$s=1$のとき
$2^a=2^ay_{a+1}=$ $ \displaystyle\sum_{k=0}^{ \ \frac{a}{2} } {}_{a+1} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a-2k}(-23)^k $
$\Longrightarrow 1 \equiv \displaystyle \sum_{k=0}^{ \ \frac{a}{2} } {}_{a+1} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a-2k}(-23)^k \pmod{23^{l+1}} $
補題6を用いると$k \geq 1$のとき
$ \upsilon_{23}( {}_{a+1} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a-2k}(-23)^k) $$=\upsilon_{23}((a+1)a \cdots (a-2k+1))-\upsilon_{23}((2k+1)!)+\upsilon_{23}(23^k)$
$ \geq \upsilon_{23}(a)+1$$=l+1$であるから
$ \displaystyle \sum_{k=0}^{ \ \frac{a}{2} } {}_{a+1} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a-2k}(-23)^k $$ \equiv {}_{a+1} \mathrm{ C }_{1}3^{a} \equiv a+1 \pmod{23^{l+1}} $$ \Longrightarrow 22t\cdot 23^l\equiv a\equiv 0 \pmod{23^{l+1}} $
$t$は$23$の倍数でないのでこれは矛盾である。
・$s=3$のとき
$2^{a+2}=2^{a+2}y_{a+3}=$ $ \displaystyle\sum_{k=0}^{ \ \frac{a}{2}+1 } {}_{a+3} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a+2-2k}(-23)^k $
$\Longrightarrow 4 \equiv \displaystyle\sum_{k=0}^{ \ \frac{a}{2}+1 } {}_{a+3} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a+2-2k}(-23)^k \pmod{23^{l+1}} $
先ほどと同じ議論から$k \geq 2$において$ \upsilon_{23}({}_{a+3} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a+2-2k}(-23)^k ) \geq l+1$より
$\displaystyle\sum_{k=0}^{ \ \frac{a}{2}+1 } {}_{a+3} \mathrm{ C }_{2k+1}3^{a+2-2k}(-23)^k $ $≡{}_{a+3} \mathrm{ C }_{1}3^{a+2}+{}_{a+3} \mathrm{ C }_{3}3^{a}(-23)$ $≡(a+3)9-23≡a+4\pmod{23^{l+1}} $
$ \Longrightarrow 22t\cdot 23^l≡a≡0\pmod{23^{l+1}}$
これも矛盾である。