漸化式に関しての予想
pythonの数値計算で得た結果から思いついた予想です。順次追加予定。
$$
(n+1)u_{n+1}=(2x_1n+x_1)u_n+x_2nu_{n-1} (u_0=1,u_1=x_1) (n\geq1)\tag{1.0}\label{name1}
$$
で定められる数列の一般項を$u_n(x_1,x_2)$とする。
\begin{multline} \begin{split} u_n^l(2^{l+1}+1,-1)&=\sum_{k=0}^{n}{ n \choose k }{ n+k \choose k}2^{lk}\\ u_n^l(2^{l}+1,-(2^l-1)^2)&=\sum_{k=0}^{n}{ n \choose k }^2 2^{lk}\\ u_n^l(3･2^{l}+1,-(3･2^l-1)^2)&=\sum_{k=0}^{n}{ n \choose k }^2 (3･2^l)^{k}\\ u_n^l(2^{l}+2,-2^{2l})&=\sum_{k=0}^{n}{ n \choose k }{ n+k \choose k}2^{l(n-k)}\\ \end{split} \end{multline}
$$
u_{n+1}=(mn+m+1)u_n-m(n+1)u_{n-1} (u_0=1,u_1=m+1) (n\geq1)\tag{2.0}\label{name2}
$$
とする。
$$ u_n=\sum_{k=0}^{n}{ m^k k!} $$
$$
u_{n+1}=(2^ln+2^l+1)u_n-2^lnu_{n-1} (u_0=1,u_1=2^l+1) (n\geq1)\tag{3.0}\label{name3}
$$
とする。
$$ u_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k! 2^{lk} $$
\ref{name1}の数列がすべてのｎについて整数であることの必要十分条件は、$x_1$が偶数かつ$x_2$が４の倍数、または$x_1$が奇数かつ$x_2$が４で割って３余ることである。
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