正弦の積

公式の紹介

とりあえず何か書いてみようということで, 私の好きな公式を示していきたいと思います.
その公式は次の通りです.

綺麗ですよね。(有名だと思いますが....)
それでは、早速示していきます。

証明

複素数平面を使います.
まず次の補題を示します.

補題1の証明

まず, 求める値を$K$としておきます.
$A_0$から$A_{n-1}$は複素数平面上において, すべて$z$に関する方程式, $z^n-1=0$の解に対応します.
ですのでその$n$解を${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots .,{\alpha }_{n-1}$としましょう.
また, 正$n$角形は対称性があるので${\alpha }_0=1$としておきます.
こうすれば, $A_k({\alpha }_k)$とできます. $(k=0,1,\dots .,n-1)$
$$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdot \cdot \cdot \cdot +z+1)=(z-1)(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdot \cdot \cdot \cdot (z-{\alpha }_{n-1})$$
ですので,
$$z^{n-1}+z^{n-2}+\cdot \cdot \cdot \cdot +z+1=(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdot \cdot \cdot \cdot (z-{\alpha }_{n-1})$$
は$z$に関する恒等式です.
あとで使うのでこれを$f(z)$としておきます.
さて, $$K=|{\alpha }_0-{\alpha }_1||{\alpha }_0-{\alpha }_2|\cdot \cdot \cdot \cdot |{\alpha }_0-{\alpha }_{n-1}|=|1-{\alpha }_1||1-{\alpha }_2|\cdot \cdot \cdot \cdot |1-{\alpha }_{n-1}|=|(1-{\alpha }_1)(1-{\alpha }_2)\cdot \cdot \cdot \cdot (1-{\alpha }_{n-1})|$$
です.
いま, $K=|f(1)|=1+1+\cdot \cdot \cdot \cdot +1=n$ なので示されました.

公式1の証明

さて, あとは補題1を用いて導いていくだけです.　補題1をより図形的に詳しく考察していきましょう.
先の正$n$角形をつくる点のほかに新たに, 原点$O$と線分$A_0{A}_k$の中点を$M_k$とります.
ここで$\mathrm{△}{A}_{0}O{A}_k$について考えます.
$A_0,A_k$は正$n$角形の頂点ですので, $$\mathrm{\angle }{A}_{0}O{A}_k=\frac{2k\pi }{n},\mathrm{\angle }{A}_{0}O{M}_k=\mathrm{\angle }{A}_{k}O{M}_k=\frac{k\pi }{n},\mathrm{\angle }O{M}_k{A}_0=\mathrm{\angle }O{M}_k{A}_k=\frac{\pi }{2}$$
です.
したがって, $O{A}_k=1$から
$$\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{A_0{A}_k}{2O{A}_k}=\frac{1}{2}{A}_0{A}_k$$
これはすべての$k$($k=1,2,....,n-1$)について同様の議論で言えます.
したがって,
$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\prod _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}{A}_0{A}_k=\frac{1}{2^{n-1}}\prod _{k=1}^{n-1}{A}_0{A}_k=\frac{n}{2^{n-1}}$$
です. 最後の等式は補題1を用いました.
これで証明完了です.

おまけ

これはただの級数の問題になるのですが, この級数を求められます.

まぁ, この数列は簡単に部分和が求まるのでそれの極限をとって終わりです.
等差と等比の積の形になっているので定石通り和を求めてやってください.

おわりに

いかがだったでしょうか.
初めての記事なので見づらい点, また数学的におかしい点やより深い話等あればどしどし送ってください.
これからも気長になにか書いていこうと思います.