とりあえず何か書いてみようということで, 私の好きな公式を示していきたいと思います.
その公式は次の通りです.
$$\prod_{k=1}^{n-1}\sin{\frac{k\pi}{n}}=\sin{\frac{1}{n}}\cdot\sin{\frac{2}{n}}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\sin{\frac{n-1}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}}$$
綺麗ですよね。(有名だと思いますが....)
それでは、早速示していきます。
複素数平面を使います.
まず次の補題を示します.
半径$1$の円に内接する正$n$角形の頂点を適当に$A_0,A_1,A_2,….,A_{n-1}$とする.このとき,次の等式が成り立つ.
$$\prod_{k=1}^{n-1}A_0A_k=A_0A_1\cdot A_0A_2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot A_0A_{n-1}=n$$
まず, 求める値を$K$としておきます.
$A_0$から$A_{n-1}$は複素数平面上において, すべて$z$に関する方程式, $z^n-1=0$の解に対応します.
ですのでその$n$解を$\alpha_0,\alpha_1,….,\alpha_{n-1}$としましょう.
また, 正$n$角形は対称性があるので$\alpha_0=1$としておきます.
こうすれば, $A_k(\alpha_k)$とできます. $(k=0,1,….,n-1)$
$$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdot\cdot\cdot\cdot+z+1)=(z-1)(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdot\cdot\cdot\cdot(z-\alpha_{n-1})$$
ですので,
$$z^{n-1}+z^{n-2}+\cdot\cdot\cdot\cdot+z+1=(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdot\cdot\cdot\cdot(z-\alpha_{n-1})$$
は$z$に関する恒等式です.
あとで使うのでこれを$f(z)$としておきます.
さて, $$K=|\alpha_0-\alpha_1||\alpha_0-\alpha_2|\cdot\cdot\cdot\cdot|\alpha_0-\alpha_{n-1}|=|1-\alpha_1||1-\alpha_2|\cdot\cdot\cdot\cdot|1-\alpha_{n-1}|=|(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)\cdot\cdot\cdot\cdot(1-\alpha_{n-1})|$$
です.
いま, $K=|f(1)|=1+1+\cdot\cdot\cdot\cdot+1=n$ なので示されました.
さて, あとは補題1を用いて導いていくだけです. 補題1をより図形的に詳しく考察していきましょう.
先の正$n$角形をつくる点のほかに新たに, 原点$O$と線分$A_0A_k$の中点を$M_k$とります.
ここで$\triangle A_0 O A_k$について考えます.
$A_0,A_k$は正$n$角形の頂点ですので, $$\angle A_0 O A_k=\frac{2k\pi}{n}\,\,\,\,,\,\,\,\,\angle A_0 O M_k=\angle A_k O M_k=\frac{k\pi}{n}\,\,\,\,,\,\,\,\,\angle O M_k A_0=\angle O M_k A_k=\frac{\pi}{2}$$
です.
したがって, $O A_k=1$から
$$\sin{\frac{k\pi}{n}}=\frac{A_0 A_k}{2O A_k}=\frac{1}{2}A_0 A_k$$
これはすべての$k$($k=1,2,....,n-1$)について同様の議論で言えます.
したがって,
$$\prod_{k=1}^{n-1}\sin{\frac{k\pi}{n}}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}A_0 A_k=\frac{1}{2^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}A_0 A_k=\frac{n}{2^{n-1}}$$
です. 最後の等式は補題1を用いました.
これで証明完了です.
これはただの級数の問題になるのですが, この級数を求められます.
$$\sum_{n=2}^\infty \prod_{k=1}^{n-1}\sin{\frac{k\pi}{n}}=1$$
まぁ, この数列は簡単に部分和が求まるのでそれの極限をとって終わりです.
等差と等比の積の形になっているので定石通り和を求めてやってください.
いかがだったでしょうか.
初めての記事なので見づらい点, また数学的におかしい点やより深い話等あればどしどし送ってください.
これからも気長になにか書いていこうと思います.