コンパクト群の既約ユニタリ表現が有限次元であることのコンパクト作用素を用いた証明

まず$p(V)\subseteq V^G$を示す.$g^{\prime}\in G$,$v\in V$とすると,
$\pi(g^{\prime})p(v)=\pi(g^{\prime})\int_G \pi(g)v\ dg=\int_G \pi(g^{\prime})\pi(g)v\ dg$
$=\int_G \pi(g^{\prime}g)v\ dg=\int_G \pi(g)v\ dg=p(v)$.

次に,$V^G$上で恒等写像であることを見る.
$v\in V^G$とすると$\forall g\in G,\pi(g)v=v$なので
$p(v)=\int_G\pi(g)v\ dg=\int_G v\ dg=v$.

自己共役性は$ *$のノルム連続性から明らか.$\Box$

$G$の任意のユニタリ表現$(\pi,V)$に,有限次元の既約な部分空間$W$が存在することを示す.
$v\in V$,$\|v\|=1$なる$v$をとり,$v$が生成する部分空間への直交射影を$P$と置く.$P$は有限階で自己共役である.$V$上の表現$g\mapsto (A\mapsto \pi(g)^{-1}A\pi(g))$に対し(ユニタリ表現ではないが)補題$2$の議論を用いると,$\tilde{P}:=\displaystyle\int_G \pi(g)^{-1}P\pi(g)\ dg$はこの新しく定義した作用での不変元,つまり$ \tilde{P}$は$(\pi,V)$ の自己$ G-$準同型である.また,各$g\in G$に対し$\pi(g)^{-1}P\pi(g)$が有限階作用素であることに注意すると,$H$上のコンパクト作用素の全体はノルム閉であることから$\tilde{P}$もコンパクトである.そこで,定理$1$を$\tilde{P}$に適用する.$0$以外の固有値を$\lambda_k$,$k\in \mathbb{N}$と置き,対応する固有空間を$V_{\lambda_k}$と置く.また,$V_0=\text{Ker}\tilde{P}$と置く.
$v\perp V_0$であることを示す.すると,$V_{\lambda_k}\neq 0$となるような$\lambda_k$の存在がわかり,これは$G-$不変な有限次元部分空間であるから,証明が完了する.実際,$G-$不変性は$w\in V_{\lambda_k}$とすると$\tilde{P}\pi(g)w=\pi(g)\tilde{P}w=\lambda_k\pi(g)w$従って,$\pi(g)w\in V_{\lambda_k}$となることから分かる.
$u\in V_0$とする.$\tilde{P}u=0$だから,
$0=(\tilde{P}u,u)=\displaystyle\int_G (P\pi (g)u,\pi(g)u)\ dg=\displaystyle\int_G (P\pi (g)u,P\pi(g)u)\ dg$
$G\to V$,$g\mapsto P\pi(g)u$は表現の連続性から連続だから,
$\forall g\in G$,$P\pi(g)u=0$.特に$g=e$として$Pu=0$.示された.