代数幾何の問題をいろいろ使って解く

[2]定理3.3.3, 定理3.3.11, 補題3.2.7より従う.

$X\times_k K$の交わらない空でない開部分スキーム$U, V$をとる. ファイバー積の性質より, $X\times_k K\times_K \bar K=X\times_k \bar K$において
$$(U\times_K \bar K)\cap (V\times_K \bar K)=(U\cap V)\times_K \bar K=\emptyset$$
なので示された.

一般に, $X\times_k \bar k$を一般の$\bar k$上の有限型スキーム$X$でおきなおす.
$X\times_\bar k \bar K$の交わらない空でない開部分スキーム$U, V$をとる.
$X\times_\bar k \bar K$のアフィン開被覆として, $\{U_i\times_\bar k \bar K\}$をとることができるが, そのうち$U$, $V$と交わるものを$1$つずつ固定し, $\Spec A_U\times_\bar k \bar K$および$\Spec A_V\times_\bar k \bar K$とする. ここで, $A_U, A_V$はいずれも有限生成$\bar k$代数である.

$U'=\Spec A_U, V'=\Spec A_V$とする.
$U'\cap V'=\emptyset$なら示すことはない. そうでない場合を考える.
$U$を$U\cap(U'\times_\bar k\bar K)$に取り替えるなどすることにより, $U\subseteq U'\times_\bar k\bar K$, $V\subseteq V'\times_\bar k\bar K$とする.

いま, $U', V'$の$\bar k$-閉点全体はそれぞれある正整数$m, n$について$\bar k^m, \bar k^n$の$\bar k$-definable部分集合である. それぞれの定義論理式を$\phi',\psi'$とおく. さらに, $U'$と$V'$の張り合わせから誘導される閉点の間の写像も$\bar k$-definableである. 実際, この射は有限生成$\bar k$-代数の間の同型から誘導されるのでよい. これを$f$とおく.

さらに, $U'\times_\bar k\bar K, V'\times_\bar k\bar K$の$\bar K$-閉点全体の集合はそれぞれ$\phi', \psi'$から定まり, $U, V$の$\bar K$-閉点全体の集合はそれぞれ$\bar K^m, \bar K^n$の$\bar K$-definable部分集合である. 定義論理式をそれぞれ$\phi(\bar x, \bar a), \psi(\bar x, \bar b)$とおく. ここで, $\phi(\bar x, \bar y), \psi(\bar x, \bar y)$はいずれも$\bar k$係数で, かつ$\phi', \psi'$および量化子がなくnegativeな(原始とは限らない)論理式の論理積であり, $\bar a, \bar b\in\bar K$である.

いま, Hilbertの零点定理より, 一般に代数閉体$L$上の空でない有限型スキームは$L$-点をもつ. したがって,
\begin{align*} \bar K\vDash & (\lnot\exists \bar x(\phi(\bar x, \bar a) \land\psi(f(\bar x), \bar b))) \\ & \land \forall \bar x((\phi(\bar x, \bar a)\to\phi'(\bar x))\land(\psi(f(\bar x), \bar b)\to\psi'(\bar x)))\\ & \land \exists \bar x\phi(\bar x, \bar a)\land\exists \bar x\psi(f(\bar x), \bar b) \end{align*}

であるため, 特に
\begin{align*} \bar K\vDash & \exists \bar y \exists \bar z(\lnot\exists \bar x(\phi(\bar x, \bar y) \land\psi(f(\bar x), \bar z))) \\ & \land \forall \bar x((\phi(\bar x, \bar y)\to\phi'(\bar x))\land(\psi(f(\bar x), \bar z)\to\psi'(\bar x)))\\ & \land \exists \bar x\phi(\bar x, \bar y)\land\exists \bar x\psi(f(\bar x), \bar z) \end{align*}
である. 代数閉体のモデル完全性より,
\begin{align*} \bar k\vDash & \exists \bar y \exists \bar z(\lnot\exists \bar x(\phi(\bar x, \bar y) \land\psi(f(\bar x), \bar z))) \\ & \land \forall \bar x((\phi(\bar x, \bar y)\to\phi'(\bar x))\land(\psi(f(\bar x), \bar z)\to\psi'(\bar x)))\\ & \land \exists \bar x\phi(\bar x, \bar y)\land\exists \bar x\psi(f(\bar x), \bar z) \end{align*}
がしたがう. よって, このような$\bar y=\bar c, \bar z=\bar d\in\bar k$を代入した$\phi(\bar x, \bar c), \psi(\bar x, \bar d)$から誘導される開部分スキームは, $X$の交わらない空でない開部分スキームを与える.

多項式順序として, 次数付き辞書式順序を用いる. すなわち, $n$個の値の総和による順序を入れたのち, 同じものに対しては辞書式順序を定める. $I$の$k[x_1, \ldots ,x_n]$への縮約のGröbner基底$G=\{g_1, \ldots, g_t\}$をとる. このとき, Gröbner基底の定義より, $G$は$I$のGröbner基底でもある(例えば$K$を$k$ベクトル空間としてみると, 線形代数の解の存在性に帰着される).

$d_0=\max D$とする. このとき, 各$g\in G$に対して, $\md(qg)\le d_0$なる$q\neq 0$の$\md$としてありうるものは高々有限個である.
実際, $\md(qg)=\md(q)+\md(g)$であり, 次数付き辞書式順序において次数$d_0$以下の次数は有限通りなので, 示された.

これと命題7より
$$\sum_{d\in D}a_dx^d\in I\Leftrightarrow \cdots\exists c_{i, d}\cdots\left(\sum_{d\in D}a_dx^d=\sum_{i=1}^tg_i\left(\sum_{d\le d_0}c_{i, d}x^d\right)\right)$$
の右辺は$k$-論理式であり, 上の同値性が成立する. なお, $c_{i, d}$の添え字は右辺の総和の範囲の数だけ存在するものとする.

$X$が初めから$K$上の有限型スキームとして, $X\times_k K$を$X$で置き換えてよい.
$X$が被約でないとするとき, あるアフィン開集合$\Spec A=\Spec K[x_1, \ldots, x_n]/I$上の$0$でない冪零な切断が存在する. すなわち, $K[x_1, \ldots, x_n]/I$は被約でない. $K[x_1, \ldots, x_n]$の元$f$および正の整数$N$であって, $f\notin I$かつ$f^N\in I$なるものをとる. このとき, $I$の$\bar K[x_1, \ldots, x_n]$への拡大$I^e$についても$f^N\in I^e$である.

以下$f\notin I^e$を示す. $k$が無限体の場合は以下のような方法が使える.
$f\in I^e$と仮定すると, $I$の適当な生成元$g_1, \ldots, g_s\in K[x_1, \ldots, x_n]$に対して, ある$q_1, \ldots, q_s\in \bar K[x_1, \ldots, x_n]$が存在して,
$$f=q_1g_1+\cdots+q_sg_s$$
が成立する. ここで, $q_i=\sum a_{i, d}x^d$とおくと,
$$K\vDash\cdots\exists c_{i, d}\cdots\left(f=g_1\sum c_{1, d}x^d+\cdots+g_s\sum c_{s, d}x^d\right)$$
であるが, 右辺は実は$k$ベクトル空間の言語で書くことができる. したがって, $k$ベクトル空間のモデル完全性より
$$k\vDash\cdots\exists c_{i, d}\cdots\left(f=g_1\sum c_{1, d}x^d+\cdots+g_s\sum c_{s, d}x^d\right)$$
である. 特に, $f\in I$となり, 矛盾する.

なお, $k$ベクトル空間のモデル完全性はもちろん$k$が有限体の場合は成立しない. その場合は(も)今回は右辺が線型方程式の解の存在を言っているだけなので, モデル理論の道具を使わずとも線形代数の議論だけで示せる.

先と同様にして, $\bar K[x_1, \ldots, x_n]$の元$f$および正の整数$N$であって, $f\notin I$かつ$f^N\in I$なるものをとる. ここで, $I$は$k$係数の生成系をもつ.
$f$を係数の多項式とみて,
$$f=f(a_d; x_1, \ldots, x_n)=\sum_{d\in D}a_dx^d$$
とおく. このとき, 定理8より
$$ \bar K\vDash \cdots \exists c_d\cdots (f(c_d)\notin I \land f(c_d)^N\in I) $$
の右辺は$k$-論理式として形式化可能であり, 上の式が成立する. したがって, 代数閉体のモデル完全性より
$$ \bar k\vDash \cdots \exists c_d\cdots (f(c_d)\notin I \land f(c_d)^N\in I) $$
が従い, 特に, $X\times_k \bar k$は被約でない.