q-Vandermondeの恒等式の証明

Vandermondeの恒等式
$\begin{aligned} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} - n, b \\ c \end{array}; 1] & = \frac{(c - b)_{n}}{(c)_{n}} \end{aligned}$
の $q$ 類似を示す.

q

-Vandermondeの恒等式

$n$ を非負整数として,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, q^{- n} \\ c \end{array}; \frac{c q^{n}}{b}] & = \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} \\ _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, q^{- n} \\ c \end{array}; q] & = \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

1つの式はHeineの和公式
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; \frac{c}{a b}] & = \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $a = q^{- n}$ とすると得られる. 2つ目の式は,
$\begin{array}{r} (a; q)_{n - k} = \frac{(a; q)_{n}}{(q^{1 - n} / a; q)_{k}} {(- \frac{q}{a})}^{k} q^{(\binom{k}{2}) - n k} \end{array}$
であることを用いると,
$\begin{aligned} \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c q^{n}}{b})}^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, q^{- n}; q)_{n - k}}{(c, q; q)_{n - k}} {(\frac{c q^{n}}{b})}^{n - k} \\ = \frac{(b, q^{- n}; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} {(\frac{c q^{n}}{b})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{1 - n} / c, q^{- n}; q)_{k}}{(q^{1 - n} / b, q; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{(b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} q^{(\binom{n}{2})} {(- \frac{c}{b})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{1 - n} / c, q^{- n}; q)_{k}}{(q^{1 - n} / b, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
よって,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q^{1 - n} / c, q^{- n} \\ q^{1 - n} / b \end{array}; q] & = \frac{(c; q)_{n}}{(b; q)_{n}} q^{- (\binom{n}{2})} {(- \frac{b}{c})}^{n} \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} \\ = q^{- (\binom{n}{2})} {(- \frac{b}{c})}^{n} \frac{(c / b; q)_{n}}{(b; q)_{n}} \end{aligned}$
だから, $b \mapsto q^{1 - n} / c, c \mapsto q^{1 - n} / b$ とすると,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, q^{- n} \\ c \end{array}; q] & = {(- \frac{b}{c})}^{n} q^{- (\binom{n}{2})} \frac{(c / b; q)_{n}}{(q^{1 - n} / c; q)_{n}} \\ \frac{(c / b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
となって示される.

$q$ 二項係数を
$\begin{array}{r} {(\binom{n}{k})}_{q} := \frac{(q; q)_{n}}{(q; q)_{k} (q; q)_{n - k}} \end{array}$
のように定義する.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} {(\binom{n}{k})}_{q} {(\binom{m}{k})}_{q} q^{k^{2}} & = {(\binom{n + m}{n})}_{q} \end{aligned}$

q-Vandermondeの恒等式を用いて以下のように計算できる.
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} {(\binom{n}{k})}_{q} {(\binom{m}{k})}_{q} q^{k^{2}} & = \sum_{0 \leq k} \frac{(q^{- n}, q^{- m}; q)_{k}}{(q; q)_{k}^{2}} q^{(1 + n + m) k} \\ = \frac{(q^{1 + m}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \\ = {(\binom{n + m}{n})}_{q} \end{aligned}$

投稿日：2024年5月24日

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Wataru

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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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