q-Vandermondeの恒等式の証明
Vandermondeの恒等式
\begin{align}
\F21{-n,b}{c}{1}&=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}
\end{align}
の$q$類似を示す.
$n$を非負整数として,
\begin{align}
\Q21{b,q^{-n}}{c}{\frac{cq^n}{b}}&=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}\\
\Q21{b,q^{-n}}{c}{q}&=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}b^n
\end{align}
が成り立つ.
1つの式はHeineの和公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{\frac{c}{ab}}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a=q^{-n}$とすると得られる. 2つ目の式は,
\begin{align}
(a;q)_{n-k}=\frac{(a;q)_n}{(q^{1-n}/a;q)_k}\left(-\frac qa\right)^kq^{\binom k2-nk}
\end{align}
であることを用いると,
\begin{align}
\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}&=\sum_{k=0}^n\frac{(b,q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^k\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(b,q^{-n};q)_{n-k}}{(c,q;q)_{n-k}}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^{n-k}\\
&=\frac{(b,q^{-n};q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq^{n}}{b}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{1-n}/c,q^{-n};q)_k}{(q^{1-n}/b,q;q)_k}q^k\\
&=\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}q^{\binom n2}\left(-\frac{c}{b}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{1-n}/c,q^{-n};q)_k}{(q^{1-n}/b,q;q)_k}q^k
\end{align}
よって,
\begin{align}
\Q21{q^{1-n}/c,q^{-n}}{q^{1-n}/b}{q}&=\frac{(c;q)_n}{(b;q)_n}q^{-\binom n2}\left(-\frac bc\right)^n\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}\\
&=q^{-\binom n2}\left(-\frac bc\right)^n\frac{(c/b;q)_n}{(b;q)_n}
\end{align}
だから, $b\mapsto q^{1-n}/c, c\mapsto q^{1-n}/b$とすると,
\begin{align}
\Q21{b,q^{-n}}{c}{q}&=\left(-\frac bc\right)^nq^{-\binom n2}\frac{(c/b;q)_n}{(q^{1-n}/c;q)_n}\\
\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}b^n
\end{align}
となって示される.
$q$二項係数を
\begin{align}
\binom nk_q:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}
\end{align}
のように定義する.
\begin{align} \sum_{0\leq k}\binom nk_q\binom mk_q q^{k^2}&=\binom{n+m}n_q \end{align}
q-Vandermondeの恒等式を用いて以下のように計算できる.
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\binom nk_q\binom mk_qq^{k^2}&=\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{-m};q)_k}{(q;q)_k^2}q^{(1+n+m)k}\\
&=\frac{(q^{1+m};q)_n}{(q;q)_n}\\
&=\binom{n+m}{n}_q
\end{align}
