以下は, Carlitzによって1967年に示された公式である.
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_m(a')_n(b)_{m+n}(c)_m(c')_n}{m!n!(b)_m(b)_n(c+c')_{m+n}}=\frac{\Gamma(c-a')\Gamma(c'-a)\Gamma(b)\Gamma(b-a-a')\Gamma(c+c')}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(b-a)\Gamma(b-a')\Gamma(c)\Gamma(c')}
\end{align}
が左辺の和が絶対収束するとき, 成立する.
Vandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\frac{(b)_{m+n}}{(b)_m(b)_n}=\sum_{0\leq k}\frac{(-m,-n)_k}{k!(b)_k}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_m(a')_n(b)_{m+n}(c)_m(c')_n}{m!n!(b)_m(b)_n(c+c')_{m+n}}\\
&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_m(a')_n(c)_m(c')_n}{m!n!(c+c')_{m+n}}\sum_{0\leq k}\frac{(-m,-n)_k}{k!(b)_k}\\
&=\sum_{0\leq m,n,k}\frac{(a)_m(a')_n(c)_m(c')_n}{k!(b)_k(m-k)!(n-k)!(c+c')_{m+n}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m(c)_{m+k}}{m!(c+c')_{m+2k}}\sum_{0\leq n}\frac{(a'+k)_n(c'+k)_n}{n!(c+c'+2k+m)_n}
\end{align}
ここで, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a'+k)_n(c'+k)_n}{n!(c+c'+2k+m)_n}&=\frac{\Gamma(c+c'+2k+m)\Gamma(c-a'+m)}{\Gamma(c+c'-a+k+m)\Gamma(c+k+m)}\\
&=\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')}{\Gamma(c+c'-a')\Gamma(c)}\frac{(c+c')_{m+2k}(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}(c)_{m+k}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m(c)_{m+k}}{m!(c+c')_{m+2k}}\sum_{0\leq n}\frac{(a'+k)_n(c'+k)_n}{n!(c+c'+2k+m)_n}\\
&=\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')}{\Gamma(c+c'-a')\Gamma(c)}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m}{m!}\frac{(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}}
\end{align}
である. 再びGaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m}{m!}\frac{(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}}&=\frac 1{(c+c'-a')_k}\frac{\Gamma(c+c'-a+k)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(c'+k)}\\
&=\frac{\Gamma(c+c'-a)\Gamma(c'-a)}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(c')(c')_k}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')}{\Gamma(c+c'-a')\Gamma(c)}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m}{m!}\frac{(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}}\\
&=\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')\Gamma(c'-a)}{\Gamma(c)\Gamma(c')\Gamma(c+c'-a-a')}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k}{k!(b)_k}
\end{align}
最後にGaussの超幾何定理より
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k}{k!(b)_k}=\frac{\Gamma(b)\Gamma(b-a-a')}{\Gamma(b-a)\Gamma(b-a')}
\end{align}
であるから定理を得る.
二重超幾何級数の和公式がVandermondeの恒等式やGaussの超幾何定理のような${}_2F_1$の和公式を組合わせるだけで得られるのは面白いと思う.