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現代数学解説
文献あり

Carlitzによる二重超幾何級数の和公式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

以下は, Carlitzによって1967年に示された公式である.

Carlitz(1967)

\begin{align} \sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_m(a')_n(b)_{m+n}(c)_m(c')_n}{m!n!(b)_m(b)_n(c+c')_{m+n}}=\frac{\Gamma(c-a')\Gamma(c'-a)\Gamma(b)\Gamma(b-a-a')\Gamma(c+c')}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(b-a)\Gamma(b-a')\Gamma(c)\Gamma(c')} \end{align}
が左辺の和が絶対収束するとき, 成立する.

Vandermondeの恒等式より,
\begin{align} \frac{(b)_{m+n}}{(b)_m(b)_n}=\sum_{0\leq k}\frac{(-m,-n)_k}{k!(b)_k} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_m(a')_n(b)_{m+n}(c)_m(c')_n}{m!n!(b)_m(b)_n(c+c')_{m+n}}\\ &=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_m(a')_n(c)_m(c')_n}{m!n!(c+c')_{m+n}}\sum_{0\leq k}\frac{(-m,-n)_k}{k!(b)_k}\\ &=\sum_{0\leq m,n,k}\frac{(a)_m(a')_n(c)_m(c')_n}{k!(b)_k(m-k)!(n-k)!(c+c')_{m+n}}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m(c)_{m+k}}{m!(c+c')_{m+2k}}\sum_{0\leq n}\frac{(a'+k)_n(c'+k)_n}{n!(c+c'+2k+m)_n} \end{align}
ここで, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a'+k)_n(c'+k)_n}{n!(c+c'+2k+m)_n}&=\frac{\Gamma(c+c'+2k+m)\Gamma(c-a'+m)}{\Gamma(c+c'-a+k+m)\Gamma(c+k+m)}\\ &=\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')}{\Gamma(c+c'-a')\Gamma(c)}\frac{(c+c')_{m+2k}(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}(c)_{m+k}} \end{align}
だから,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m(c)_{m+k}}{m!(c+c')_{m+2k}}\sum_{0\leq n}\frac{(a'+k)_n(c'+k)_n}{n!(c+c'+2k+m)_n}\\ &=\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')}{\Gamma(c+c'-a')\Gamma(c)}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m}{m!}\frac{(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}} \end{align}
である. 再びGaussの超幾何定理より,
\begin{align} \sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m}{m!}\frac{(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}}&=\frac 1{(c+c'-a')_k}\frac{\Gamma(c+c'-a+k)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(c'+k)}\\ &=\frac{\Gamma(c+c'-a)\Gamma(c'-a)}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(c')(c')_k} \end{align}
だから,
\begin{align} &\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')}{\Gamma(c+c'-a')\Gamma(c)}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k(c')_k}{k!(b)_k}\sum_{0\leq m}\frac{(a+k)_m}{m!}\frac{(c-a')_m}{(c+c'-a')_{m+k}}\\ &=\frac{\Gamma(c+c')\Gamma(c-a')\Gamma(c'-a)}{\Gamma(c)\Gamma(c')\Gamma(c+c'-a-a')}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k}{k!(b)_k} \end{align}
最後にGaussの超幾何定理より
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(a)_k(a')_k}{k!(b)_k}=\frac{\Gamma(b)\Gamma(b-a-a')}{\Gamma(b-a)\Gamma(b-a')} \end{align}
であるから定理を得る.

二重超幾何級数の和公式がVandermondeの恒等式やGaussの超幾何定理のような${}_2F_1$の和公式を組合わせるだけで得られるのは面白いと思う.

参考文献

[1]
L. Carlitz, A summation theorem for double hypergeometric series., Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1967, 230–233
投稿日:21日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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