コイントスで円周率の近似値を求める方法 (実用性はナシ)

$P_N$は，$2N$回コインを投げて，$N$回のみオモテ面が出る確率と同じ．
よって，$\displaystyle P_N = {}_{2N} C_N \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^N \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^N = \frac{{}_{2N} C_N}{4^N}$となる．
したがって，\begin{align*} &\lim_{N\to \infty} \sqrt{N} P_N = \lim_{N\to \infty} \sqrt{N} \frac{{}_{2N} C_N}{4^N} \\ &= \lim_{N\to \infty} \sqrt{N} \frac{(2N)!}{4^N (N!)^2 } = \lim_{N\to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{(2N)! e^{2N}}{\sqrt{4\pi N} (2N)^{2N}} \cdot \frac{(2\pi N) N^{2N}}{(N!)^2 e^{2N}} \right).\\ \end{align*}
Stirlingの公式から，$\displaystyle \lim_{N \to \infty} \frac{(2N)! e^{2N}}{\sqrt{4\pi N} (2N)^{2N}} = \lim_{N \to \infty} \frac{(2\pi N) N^{2N}}{(N!)^2 e^{2N}} = 1$より，
$\displaystyle \lim_{N\to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{(2N)! e^{2N}}{\sqrt{4\pi N} (2N)^{2N}} \cdot \frac{(2\pi N) N^{2N}}{(N!)^2 e^{2N}} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$
よって，$\displaystyle \lim_{N\to \infty} \frac{1}{N P_N^2} = \pi.$