コイントスで円周率の近似値を求める方法 (実用性はナシ)

$P_N$は，$2N$回コインを投げて，$N$回のみオモテ面が出る確率と同じ．
よって，${\displaystyle P_N={}_{2N}{C}_N\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^N\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^N=\frac{{}_{2N}{C}_N}{4^N}}$となる．
したがって，$$\begin{array}{rl}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{N}{P}_N=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{N}\frac{{}_{2N}{C}_N}{4^N}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{N}\frac{(2N)!}{4^N(N!{)}^2}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{(2N)!e^{2N}}{\sqrt{4\pi N}(2N{)}^{2N}}\cdot \frac{(2\pi N)N^{2N}}{(N!{)}^2{e}^{2N}}).\end{array}$$
Stirlingの公式から，${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2N)!e^{2N}}{\sqrt{4\pi N}(2N{)}^{2N}}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2\pi N)N^{2N}}{(N!{)}^2{e}^{2N}}=1}$より，
${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{(2N)!e^{2N}}{\sqrt{4\pi N}(2N{)}^{2N}}\cdot \frac{(2\pi N)N^{2N}}{(N!{)}^2{e}^{2N}})=\frac{1}{\sqrt{\pi }}.}$
よって，${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N{P}_N^2}=\pi .}$