10000!は何回3で割り切れるか
10000!は何回3で割り切れるか
$1$から順番に数を書いていく。ただし、$3$で割り切れる数以外は$s$で表す。
$s, s, 3, s, s, 6, s, s, 9\cdots$
$s$以外の数は$3333$個ある。
これを一回$3$で割る。
$s, s, s, s, s, s, s, s, 3\cdots$
このように、$9$の倍数が$s$以外として残る。
この$9$の倍数は$1111$個ある。
$3$の倍数に、$9$の倍数は必ず含まれ、大体$3$の倍数の$\frac{1}{3}$ある。$9999$までに$9$の倍数は
$9, 18, 27,\cdots, 9999$とあり、全部の数を$9$で割ると
$1, 2, 3,\cdots, 1111$
と、$1$から$1111$までの数が並ぶ。
$27$の倍数は、
$27, 54, 81,\cdots, 9990$
$10000=9990+10$なので、最後の$27$の倍数は$9990$で、次は$10017$なので$10000!$に含まれない。
$9990/27=370$で、$370$個取れる。
$27, 54, 81,\cdots, 9990$
全ての項を$27$で割ると
$1, 2, 3,\cdots, 370$
なお、$a$で何回割り切れるか考える時は、$a$の$a$自身以外の素因数の積が$a$の倍数になることは無視する。
同じように$81$の倍数は$370/3=123$余り$1$で、
$81*1, 81*2, \cdots, 81*123=9963$
このように$123$個ある。
$273$の倍数は$123/3=41$個ある。
$81*123=273*41=9963$
$273$の倍数は、$81$の倍数に必ず含まれる。
$819$の倍数は、$41/3=13$余り$2$だが、誤差が生じている。
$819*1, 819*2,\cdots, 819*13=10647$
$819$の倍数は$12$個しか取れない。
これは$273$の倍数が$41$個取れる内、$819$の倍数は
$273*3, 273*6, \cdots, 273*36=9828$
までで、
$273*37=10101$となるからである。
$2457$の倍数は、$12/3=4$個取れる。
$7371$の倍数は$4/3=1$余り$1$で、$1$個取れる。
計算方法
各倍数を、並べて$3$で割っていく。
$3, 6, 9, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81,\cdots$
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27\cdots$
以下、$3$の倍数だけを$3$で割る。
$1, 2, 1, 4, 5, 2, 7, 8, 3, 10, 11, 4, 13, 14, 5, 16, 17, 6, 19, 20, 7, 22, 23, 8, 25, 26, 9\cdots$
$1, 2, 1, 4, 5, 2, 7, 8, 1, 10, 11, 4, 13, 14, 5, 16, 17, 2, 19, 20, 7, 22, 23, 8, 25, 26, 3\cdots$
$3$で$3$回割ると、$81$だけが$3$として$3$の倍数で残った。
これをもう一度$3$で割ると$1$回割れる。
割った回数は、$27+9+3+1$回。
$3$で割った$\frac{9}{3}=3, \frac{27}{3}=9, \frac{81}{3}=27$を$3$で割ると
\frac{3}{3}=1, \frac{9}{3}=3, \frac{27}{3}=9
となり、要するに$3$の倍数の数に$9$の倍数の数を足して、$27$の倍数の数を足して……という風に足して行けばいいことが分かる。
$\begin{eqnarray}&3333+1111+370+123+41+12+4+1&
&&=4995\end{eqnarray}$
答えは$4995$。
$819$の倍数の箇所の誤差のせいで、数学オリンピック並の難しさである。慎重に確かめないと分からない。
$ChatGPT$も誤っていた。
訂正
大間違いをやらかしてしまっていた。
$273,819$は$3$の倍数ではない。
だから、計算結果が合わなかったのだ。
単純に$10000$を$3$で割り、その結果の商を$3$で割っていくと
$10000/3=3333…1$
$3333/3=1111…0$
$1111/3=370…1$
$370/3=123…1$
$123/3=41…0$
$41/3=13…2$
$13/3=4…1$
$4/3=1…1$
$1/3=0…1$
$3333+1111+370+123+41+13+4+1=4996$
ケアレスミスが怖くて丁寧に解こうとすることには、あまり意味がないということだ。
いくら問題を解く力があっても、間違えたら片手落ちになる。
気を付けたい。
問題の解き方自体は正しいが、冷静に考えれば計算結果が合わない理由は分かるはずだった。
結論
数式は真実を語る。
しかし、数式も目の前の現実も、何も信じない方が問題は解きやすい。
何が正しいかの見極めが大切だ、という教訓が得られた。
ChatGPTは尋ね返しても正しい答えを出していた。賢いな、ChatGPTって。