10000!は何回3で割り切れるか

10000!は何回3で割り切れるか

$1$から順番に数を書いていく。ただし、$3$で割り切れる数以外は$s$で表す。

$s,s,3,s,s,6,s,s,9\cdots$
$s$以外の数は$3333$個ある。

これを一回$3$で割る。
$s,s,s,s,s,s,s,s,3\cdots$
このように、$9$の倍数が$s$以外として残る。
この$9$の倍数は$1111$個ある。
$3$の倍数に、$9$の倍数は必ず含まれ、大体$3$の倍数の$\frac{1}{3}$ある。$9999$までに$9$の倍数は
$9,18,27,\cdots ,9999$とあり、全部の数を$9$で割ると
$1,2,3,\cdots ,1111$
と、$1$から$1111$までの数が並ぶ。
$27$の倍数は、
$27,54,81,\cdots ,9990$
$10000=9990+10$なので、最後の$27$の倍数は$9990$で、次は$10017$なので$10000!$に含まれない。
$9990/27=370$で、$370$個取れる。
$27,54,81,\cdots ,9990$
全ての項を$27$で割ると
$1,2,3,\cdots ,370$
なお、$a$で何回割り切れるか考える時は、$a$の$a$自身以外の素因数の積が$a$の倍数になることは無視する。
同じように$81$の倍数は$370/3=123$余り$1$で、
$81\ast 1,81\ast 2,\cdots ,81\ast 123=9963$
このように$123$個ある。
$273$の倍数は$123/3=41$個ある。
$81\ast 123=273\ast 41=9963$
$273$の倍数は、$81$の倍数に必ず含まれる。
$819$の倍数は、$41/3=13$余り$2$だが、誤差が生じている。
$819\ast 1,819\ast 2,\cdots ,819\ast 13=10647$
$819$の倍数は$12$個しか取れない。
これは$273$の倍数が$41$個取れる内、$819$の倍数は
$273\ast 3,273\ast 6,\cdots ,273\ast 36=9828$
までで、
$273\ast 37=10101$となるからである。
$2457$の倍数は、$12/3=4$個取れる。
$7371$の倍数は$4/3=1$余り$1$で、$1$個取れる。

計算方法

各倍数を、並べて$3$で割っていく。
$3,6,9,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,\cdots$
$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27\cdots$
以下、$3$の倍数だけを$3$で割る。
$1,2,1,4,5,2,7,8,3,10,11,4,13,14,5,16,17,6,19,20,7,22,23,8,25,26,9\cdots$
$1,2,1,4,5,2,7,8,1,10,11,4,13,14,5,16,17,2,19,20,7,22,23,8,25,26,3\cdots$
$3$で$3$回割ると、$81$だけが$3$として$3$の倍数で残った。
これをもう一度$3$で割ると$1$回割れる。
割った回数は、$27+9+3+1$回。
$3$で割った$\frac{9}{3}=3,\frac{27}{3}=9,\frac{81}{3}=27$を$3$で割ると
\frac{3}{3}=1, \frac{9}{3}=3, \frac{27}{3}=9
となり、要するに$3$の倍数の数に$9$の倍数の数を足して、$27$の倍数の数を足して……という風に足して行けばいいことが分かる。
$\begin{array}{rclrc}& 3333+1111+370+123+41+12+4+1& & & =4995\end{array}$
答えは$4995$。
$819$の倍数の箇所の誤差のせいで、数学オリンピック並の難しさである。慎重に確かめないと分からない。
$ChatGPT$も誤っていた。

訂正

大間違いをやらかしてしまっていた。
$273,819$は$3$の倍数ではない。
だから、計算結果が合わなかったのだ。
単純に$10000$を$3$で割り、その結果の商を$3$で割っていくと

$10000/3=3333\dots 1$
$3333/3=1111\dots 0$
$1111/3=370\dots 1$
$370/3=123\dots 1$
$123/3=41\dots 0$
$41/3=13\dots 2$
$13/3=4\dots 1$
$4/3=1\dots 1$
$1/3=0\dots 1$
$3333+1111+370+123+41+13+4+1=4996$

ケアレスミスが怖くて丁寧に解こうとすることには、あまり意味がないということだ。
いくら問題を解く力があっても、間違えたら片手落ちになる。
気を付けたい。
問題の解き方自体は正しいが、冷静に考えれば計算結果が合わない理由は分かるはずだった。

結論

数式は真実を語る。
しかし、数式も目の前の現実も、何も信じない方が問題は解きやすい。
何が正しいかの見極めが大切だ、という教訓が得られた。
ChatGPTは尋ね返しても正しい答えを出していた。賢いな、ChatGPTって。