拡張した微分（提案）
微分を拡張できないか考えたメモ。というより落書きに近い。厳密性なんて無いよ。
下準備
$(X,\searrow)$を収束空間とする。一点$a\in X$を選んで固定する。$x$が$y$より$a$に近いという前順序を
\begin{eqnarray}
x\lesssim_a y&:\Longleftrightarrow& (\forall N\in\mathcal{N}(a))[y\in N\Longrightarrow x\in N]\\
&\Longleftrightarrow& \mathcal{N}(a)\cap\left\uparrow\{\{y\}\}\right.\subseteq\mathcal{N}(a)\cap\left\uparrow\{\{x\}\}\right.
\end{eqnarray}
で定める。これで前順序集合$(X,\lesssim_a)$を得る。これを$x\sim_a y:\Longleftrightarrow (x\lesssim_a y \,\text{かつ}\,x\gtrsim_a y)$で半順序化したものを$(X/{\sim_a},\le_a)$とする。
微分の定義
カラテオドリ微分$[1]$によるフレッシェ微分の定義を一般化した形で微分を定義する。
収束空間$(X,\searrow_X)$に$X$上の同値関係の場$(\|_x)_{x\in X}$を入れた構造$(X,\searrow_X,(\|_x)_{x\in X})$を考える。$x\,\|_a \,y$は「$a$からみて同じ方向にある」という意図である。平行記号で書いているが、ベクトル空間における普通の平行ではなくoriented平行の一般化であることに注意されたい。
写像$f:X\rightarrow Y$が$a\in X$で微分可能
$:\Longleftrightarrow$
ある$a$の近傍$U\in \mathcal{N}_X(a)$と、ある２つの写像
$\psi_\bullet:U\rightarrow\text{Hom}_\text{Pos}\big((X/{\sim_a},\le_a),(Y/{\sim'_{f(a)}},\le'_{f(a)})\big);$
$\phi_\bullet:U\rightarrow\text{Map}(X/{\|_a},\,Y/{\|'_{f(a)}});$
が存在し、
・$\psi_\bullet,\phi_\bullet$は共に$a$で連続
さらに$\forall x\in U$に対して
・$[f(x)]_{\sim'_{f(a)}}=\psi_x([x]_{\sim_{a}})$
・$[f(x)]_{\|'_{f(a)}}=\phi_x([x]_{\|_{a}})$
を満たすこと。
（ただし$\text{Hom}_\text{Pos},\text{Map}$の空間には、代入写像$\text{ev}$を連続にする始収束が入るものとする。$U$には$X$の相対収束が入るものとする。）
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