文献あり

極座標をn次元に一般化する

はじめに

今回扱う内容は "極座標" です. 一度は耳にしたこともある人も多いでしょう. 2次元の場合は数学3に, 3次元の場合は数学4の範囲に掲載されている内容です. しかし, n次元に一般化したときはどのような振る舞いをするのでしょうか. 今回はこれについて深堀りします.

極座標の定義

極座標

極座標 [Polar Coordinate] とは, $n$ 次元ユークリッド空間 $R^{n}$ における, $1$ 個の動径 $r$ と $n - 1$ 個の偏角 $θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n - 1}$ によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (r, θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n - 1})$ と表す.

動径 … 線分 $O P$ の距離
偏角 … 半直線 $O P$ と $x_{n}$ 軸を除く $n - 1$ 個の座標軸それぞれとの一般角

極座標の定義です. “動径” と “偏角” の定義も記しておきました. 座標系に対する真新しい考え方なので, これだけではわかりにくいですが, 直交座標の定義と同時に見るとわかりやすいでしょう.

直交座標

直交座標 [Rectangular Coordinate] とは, $n$ 次元ユークリッド空間 $R^{n}$ における, 直交する座標軸 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ と表す.

おなじみの直交座標の定義です. “座標軸の成分” と少しごまかして記しました. (厳密には点 $P$ から座標軸 $x_{k}$ への垂直胞 $R^{n - 1}$ で定義)

直交座標は座標軸を視点におくのに対し, 極座標は動径と偏角を視点におく座標といえるでしょう. しかし, 2つの座標系は視点が違うだけで, 点 $P$ は同じなので, 直交座標と極座標の間で変換することができます.

直交座標と極座標の変換

直交座標と極座標において, “何らかの方法”で
$P (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) ⟷ (r, θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n - 1})$
と座標変換することができる.

今回の目標は, 座標変換の公式を導出することです. しかし, 極座標と直交座標の定義がいずれも抽象的すぎて, このままでは示すのが難しそうです. 今の段階では定義を理解することすらできない人もいるでしょう. ですので, まずは 2次元 や 3次元 で示すことからして, そのあと n次元に一般化しましょう.

2次元の場合

定義

先ほどの極座標と直交座標の定義に $n = 2$ を代入します. 少しわかりやすいように文面を変えておきました.

極座標 (2次元)

極座標 とは, 座標平面 $R^{2}$ における, 動径 $r$ と偏角 $θ$ によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (r, θ)$ と表す.

動径 … 線分 $O P$ の距離
偏角 … 半直線 $O P$ と $x$ 軸との一般角

直交座標 (2次元)

直交座標 とは, 座標平面 $R^{2}$ における, 直交する座標軸 $x, y$ についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (x, y)$ と表す.

2次元の場合, とてもわかりやすい定義ですね. ここで, 直交座標と極座標の変換は
$P (x, y) ⟷ (r, θ)$
とできるはずです. 変換公式を導出しましょう.

偏角の向き

ここで, 気づいている人もいるかもしれませんが, ある問題点があります.

動径 $r$ は線分 $O P$ の距離なので1通りですが, 偏角 $θ$ は, 線分 $O P$ と $x$ 軸との一般角ですので, 表し方は $x$ 軸から線分 $O P$ に回転する方法で, 左回りと右回りの2通りあります.

これでは不便なので, 予めどちら回りかを定義しておくべきでしょう. どちらでもよいみたいですが, 次のように定義するのが一般的です.

偏角の向き (2次元)

座標平面 $(x, y)$ において,
偏角 $θ$ は, $x$ 軸正方向を起点として, $y$ 軸正方向に向かって 点 $P$ まで回転するものとする.

わかりやすくいうと, $x$ 軸が右向き, $y$ 軸が上向きとすると, 偏角 $θ$ の向きは, 右から上なので, 左回りになります.

2次元の場合, 左回りで十分ですが, 3次元以上に広げる際, 先ほどの定義が重要になります. しっかりと理解しておきましょう.

変換公式

では, 変換公式の導出です. 直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, θ)$ の関係を連立方程式にして, これを解けば変換公式が求まります.

$P (x, y)$ として, 点 $P$ から $x, y$ 軸への垂線の足を $X, Y$ とする.

このとき $O P = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , $O X = x$ , $O Y = y$

動径の定義 $r : = O P$
偏角の定義 $θ : = ∠ P O X$ から $\cos θ = \frac{O X}{O P}$ , $\sin θ = \frac{O Y}{O P}$

したがって,

${\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases}$

${\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = \arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \arcsin \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{cases}$

が示された.

座標変換の公式 (2次元)

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, θ)$ において, 次の2つの等式のうちいずれかを用いることによって, 座標変換できる. 2つの等式は同値である.

${\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases}$

${\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = \arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \arcsin \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{cases}$

変換公式が求まりました. これによって, 一方の座標がわかればもう一方もわかるようになります.

具体例を2つ記しました. 公式に代入すると, どちらの方向でも変換できます.

$(r, θ) = (2, \frac{π}{3}) ⟷ (x, y) = (1, \sqrt{3})$
$(x, y) = (1, 1) ⟷ (r, θ) = (\sqrt{2}, \frac{π}{4})$

極方程式

ここからは少し余談です. 今回の目標からは少しずれますが, 重要な概念ですので軽く紹介します.

極方程式

極方程式 [Polar Function] とは, 座標平面 $R^{2}$ における, 極座標 $(r, θ)$ を用いて, 陰関数 $f (r, θ) = 0$ で表した方程式のこと.

定義だけではわかりにくいですが, 陰関数の定義が “ $f (x, y) = 0$ をみたす点全体の集合” ということを考えれば, 極方程式は, “ $f (r, θ) = 0$ をみたす点全体の集合” と捉えればよさそうです. このように考えれば, 陰関数の変換 $f (x, y) = 0 \leftrightarrow f (r, θ) = 0$ についても, 先ほどの変換公式が使えます.

極方程式の変換公式

陰関数 $f (x, y) = 0$ または極方程式 $f (r, θ) = 0$ において, 座標変換の公式を代入することで, $f (x, y) = 0 \leftrightarrow f (r, θ) = 0$ と互いに他の方程式に変換できる.

極方程式の変換公式を用いる, いくつかの具体例です.

直線 $x - \sqrt{3} y = 2$ を極方程式に変換すると, $(r \cos θ) - \sqrt{3} (r \sin θ) = 2$ より $r \cos (θ + \frac{π}{6}) = 1$
楕円 $3 (x - 1)^{2} + 4 y^{2} = 12$ を極方程式に変換すると, $3 (r \cos θ - 1)^{2} + 4 (r \sin θ)^{2} = 12$ より $r (2 - \cos θ) = 3$
カージオイド $r = 1 + \cos θ$ を陰関数に変換すると, $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 + \cos (\arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})$ より $x + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2} + y^{2}$

また, 極方程式を用いることで, 次のようなとても多くの曲線を表現することができます. 一部の曲線については, 陰関数も記しておきます. (以下のものは一般例ではありません)

直線 [Linear Line] ... $r \cos (θ + \frac{π}{6}) = 1 ⟷ x - \sqrt{3} y = 2$
楕円 [Elipse] ... $r (2 - \cos θ) = 3 ⟷ 3 (x - 1)^{2} + 4 y^{2} = 12$
双曲線 [Hyperbola] ... $r (1 + 2 \cos θ) = 3 ⟷ 3 (x - 2)^{2} - y^{2} = 3$
正葉曲線 [Rose Curve] ... $r = \sin 3 θ$
カージオイド [Cardioid] ... $r = 1 + \cos θ$
対数螺旋 [Logarithmic Spiral] ... $r = e^{θ}$

2重積分

もう1つ余談です. 座標変換の公式の応用例です.

2重積分の変数変換

$(x, y) = (X (t, u), Y (t, u))$ と変数変換したとき,
$\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D} f (X (t, u), Y (t, u)) \cdot | \det J | d t d u$
ここで, ヤコビアン [Jacobian] は, $J = (\begin{matrix} \frac{\partial X}{\partial t} & \frac{\partial Y}{\partial t} \\ \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} \end{matrix})$ の行列式

重積分における, おなじみの公式です.

2重積分の中には, $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ と変数変換することで, 計算しやすくなるものもあります.

$\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y D : {x^{2} + y^{2} \leq 1}$

$(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ として, $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ をみたす.

また, $D : {x^{2} + y^{2} \leq 1} \to {0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ < 2 π}$ であり,

$\det J = | \begin{matrix} (r \cos θ)_{r} & (r \sin θ)_{r} \\ (r \cos θ)_{θ} & (r \sin θ)_{θ} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - r \sin θ & r \cos θ \end{matrix} | = \cos θ \cdot r \cos θ - \sin θ \cdot (- r \sin θ) = r$ であるから

$\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y = \iint_{D} \frac{1}{r} \cdot \det J d r d θ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \frac{1}{r} \cdot r d r d θ = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d θ$ $=$ $2 π$

$(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ のとき, ヤコビアンは $\det J =$ $r$ となります. 割と有名な公式です.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

$I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ として,

$I^{2} = (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y$

$=$ $\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} e^{- y^{2}} d x d y = \iint_{R} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y$

ここで, $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ として, $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ をみたす.

また, $\det J = r$ , $D : {x, y \in R} \to {r \geq 0, 0 \leq θ \leq 2 π}$ であるから,
$I^{2} = \iint_{R} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} \cdot r d r d θ = \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r \int_{0}^{2 π} d θ = [\frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} [θ]_{0}^{2 π} = π$
$I > 0$ より $I =$ $\sqrt{π}$

ガウス積分 [Gaussian Integral] とよばれる, 非常に有名な積分公式です. 最も美しい公式として知られています.

証明の途中, 赤字で "=" と示した部分は, 数学的に少し厳密性に欠けています. (厳密には, 広義積分の一様収束から積分と極限の交換可能性を示せばよい)

3次元の場合

ここからは本題です. 2次元から 3次元に拡張します.

定義

極座標と直交座標の定義に $n = 3$ を代入します.

極座標 (3次元)

極座標 とは, 座標空間 $R^{3}$ における, 動径 $r$ と偏角 $θ, ϕ$ によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (r, θ, ϕ)$ と表す.

動径 … 線分 $O P$ の距離
偏角 … 半直線 $O P$ と $x, y$ 軸それぞれとの一般角

直交座標 (3次元)

直交座標 とは, 座標空間 $R^{3}$ における, 直交する座標軸 $x, y, z$ についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (x, y, z)$ と表す.

お察しの通り, 座標変換の方法は
$P : (x, y, z) ⟷ (r, θ, ϕ)$
となるはずです. 同じように導出しましょう.

偏角の向き

偏角の向き (3次元)

座標空間 $(x, y, z)$ において, 点 $P$ から $y z$ 平面への垂線の足を $H$ とする.
偏角 $θ$ は, $x$ 軸正方向を起点として, 平面 $O P H$ の内部を $y z$ 平面の方向に向かって, 点 $P$ まで回転し,
偏角 $ϕ$ は, $y$ 軸正方向を起点として, $y z$ 平面の内部を $z$ 軸正方向に向かって, 点 $H$ まで回転するものとする.

3次元における偏角の向きの一般的な定義です. 2次元のときよりも条件がとても多く, 格段にわかりにくく, また噛み砕いて説明するのが困難ですが, 3次元における偏角の向きが, 2次元からの自然な拡張であることを意識してみれば, 理解できるようになるでしょう.

3次元以上における偏角の向きには, 人によって解釈の違いがあり, これといった定義がありません. ここでは, 最もわかりやすく, かつ一般的に通用している定義を採用します.

変換公式

2次元と同様に, 直交座標 $(x, y, z)$ と極座標 $(r, θ, ϕ)$ の関係を連立方程式にして, これを解けば変換公式が求まります. 先ほどの偏角の向きを意識すれば, 楽に導出できるでしょう.

$P (x, y, z)$ とする.

点 $P$ から $x$ 軸, $y z$ 平面への垂線の足を $X, H$ として, 点 $H$ から $y, z$ 軸への垂線の足を $Y, Z$ とする.

このとき $O P = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ , $O H = \sqrt{y^{2} + z^{2}}$ , $O X = x$ , $O Y = y$ , $O Z = z$

また, 動径と偏角の定義から
$r : = O P$
$θ : = ∠ P O X$ より $\cos θ = \frac{O X}{O P}$ , $\sin θ = \frac{O H}{O P}$

$ϕ : = ∠ H O Y$ より $\cos ϕ = \frac{O Y}{O H}$ , $\sin ϕ = \frac{O Z}{O H}$

したがって,
${\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \cos ϕ \\ z = r \sin θ \sin ϕ \end{cases}$
${\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ θ = \arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ ϕ = \arccos \frac{y}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} = \arcsin \frac{z}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} \end{cases}$
が示された.

座標変換の公式 (3次元)

直交座標 $(x, y, z)$ と極座標 $(r, θ, ϕ)$ において, 次の2つの等式のうちいずれかを用いることによって, 座標変換できる. 2つの等式は同値である.

${\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \cos ϕ \\ z = r \sin θ \sin ϕ \end{cases}$

${\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ θ = \arccos \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ ϕ = \arccos \frac{y}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} = \arcsin \frac{z}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} \end{cases}$

3次元の場合の変換公式が求まりました. 蛇足なので, 具体例は省略します.

3重積分

3重積分の変数変換

$(x, y, z) = (X (t, u, v), Y (t, u, v), Z (t, u, v))$ と変数変換したとき,
$∭_{D} f (x, y) d x d y d z = ∭_{D} f (X, Y, Z) \cdot | \det J | d t d u d v$
ここで, ヤコビアン は, $J = (\begin{matrix} \frac{\partial X}{\partial t} & \frac{\partial Y}{\partial t} & \frac{\partial Z}{\partial t} \\ \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & \frac{\partial Z}{\partial u} \\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & \frac{\partial Z}{\partial v} \end{matrix})$ の行列式

とても仰々しいですが, 2重積分から拡張したものだと考えれば, 公式の意味をすぐに理解できます.
これもまた, 変換公式を用いて $(x, y, z) \to (r, θ, ϕ)$ とすることで, 計算しやすくなるものもあります. 面倒くさいですが, ヤコビアンの導出はしておきましょう.

ヤコビアンの導出

$(x, y, z) = (r \cos θ, r \sin θ \cos ϕ, r \sin θ \sin ϕ)$ とする.

このとき,
$\frac{\partial x}{\partial r} = (r \cos θ)_{r} = \cos θ$
$\frac{\partial y}{\partial r} = (r \sin θ \cos ϕ)_{r} = \sin θ \cos ϕ$
$\frac{\partial z}{\partial r} = (r \sin θ \sin ϕ)_{r} = \sin θ \sin ϕ$
$\frac{\partial x}{\partial θ} = (r \cos θ)_{θ} = - r \sin θ$
$\frac{\partial y}{\partial θ} = (r \sin θ \cos ϕ)_{θ} = r \cos θ \cos ϕ$
$\frac{\partial z}{\partial θ} = (r \sin θ \sin ϕ)_{θ} = r \cos θ \sin ϕ$
$\frac{\partial x}{\partial ϕ} = (r \cos θ)_{ϕ} = 0$
$\frac{\partial y}{\partial ϕ} = (r \sin θ \cos ϕ)_{ϕ} = - r \sin θ \sin ϕ$
$\frac{\partial z}{\partial θ} = (r \sin θ \sin ϕ)_{ϕ} = r \sin θ \cos ϕ$
であるから,

ヤコビアンは
$\det J = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial θ} & \frac{\partial y}{\partial θ} & \frac{\partial z}{\partial θ} \\ \frac{\partial x}{\partial ϕ} & \frac{\partial y}{\partial ϕ} & \frac{\partial z}{\partial ϕ} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \cos θ & \sin θ \cos ϕ & \sin θ \sin ϕ \\ - r \sin θ & r \cos θ \cos ϕ & r \cos θ \sin ϕ \\ 0 & - r \sin θ \sin ϕ & r \sin θ \cos ϕ \end{matrix} |$

ここでサラスの公式より, $\det J =$ $r^{2} \sin θ$

9回の偏微分と行列式の計算に心が折れそうになりました. もう二度とやりたくないです.

n次元に一般化する

定義

最初に記した, 極座標と直交座標の定義です. 最初とは違い, すんなりと理解できるでしょう.

極座標 (再掲)

極座標 とは, $n$ 次元ユークリッド空間 $R^{n}$ における, $1$ 個の動径 $r$ と $n - 1$ 個の偏角 $θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n - 1}$ によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (r, θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n - 1})$ と表す.

動径 … 線分 $O P$ の距離
偏角 … 半直線 $O P$ と $x_{n}$ 軸を除く $n - 1$ 個の座標軸それぞれとの一般角

直交座標 (再掲)

直交座標 とは, $n$ 次元ユークリッド空間 $R^{n}$ における, 直交する座標軸 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を $P (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ と表す.

偏角の向き

2次元や3次元で定義された偏角の向きも, n次元に一般化することができます.　とてもわかりにくいので, 読み飛ばしていただいて結構です.

偏角の向き (n次元)

$n$ 次元ユークリッド空間 $R^{n}$ において, 直交座標 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ として, $n - 1$ 個の偏角を $θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n - 1}$ とする.

また, 点 $P$ から胞 $x_{2} x_{3} \dots x_{n}$ , 点 $H_{1}$ から胞 $x_{3} x_{4} \dots x_{n}$ , $\dots$ , 点 $H_{n - 2}$ から $x_{n}$ 軸への垂線の足を $H_{1}, H_{2}, \dots, H_{k - 1}$ と定める.

このとき, $k = {1, 2, \dots, n - 1}$ において, 偏角 $θ_{k}$ は, $x_{k}$ 軸正方向を起点にして, 平面 $O P H_{k}$ の内部を, 胞 $x_{k} \dots x_{n - 1}$ の方向に, 点 $H_{k}$ ( $k = n - 1$ のときは点 $P$ ) まで回転するものとする.

変換公式

n次元における, 極座標と直交座標の変換公式を導出します. 抽象的でわかりにくいですが, 2次元や3次元からの一般化と考えれば, 難なく理解できるでしょう.

$P (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ とする.

点 $P$ から胞 $x_{2} x_{3} \dots x_{n}$ , 点 $H_{1}$ から胞 $x_{3} x_{4} \dots x_{n}$ , $\dots$ , 点 $H_{n - 2}$ から $x_{n}$ 軸への垂線の足を $H_{1}, H_{2}, \dots, H_{n - 1}$ として,
点 $P, H_{1}, \dots, H_{n - 1}$ から $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 軸への垂線の足をそれぞれ $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ とする.

このとき, $O P = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$ , $O H_{2} = \sqrt{x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$ , $\dots$ , $O H_{n - 1} = \sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n}^{2}}$ ,
$O X_{1} = x_{1}$ , $O X_{2} = x_{2}$ , $\dots$ , $O X_{n} = x_{n}$

また, 動径と偏角の定義から
$r : = O P$
$θ_{1} : = ∠ P O X_{1}$ より $\cos θ_{1} = \frac{O X_{1}}{O P}$ , $\sin θ_{1} = \frac{O H_{1}}{O P}$

$θ_{2} : = ∠ H_{1} O X_{2}$ より $\cos θ_{2} = \frac{O X_{2}}{O H_{1}}$ , $\sin θ_{2} = \frac{O H_{2}}{O H_{1}}$
$⋮$
$θ_{n - 1} : = ∠ H_{n - 2} O X_{n - 1}$ より $\cos θ_{2} = \frac{O X_{n - 1}}{O H_{n - 2}}$ , $\sin θ_{2} = \frac{O X_{n}}{O H_{n - 2}}$

したがって,
${\begin{cases} x_{1} = r \cos θ_{1} \\ x_{2} = r \sin θ_{1} \cos θ_{2} \\ x_{3} = r \sin θ_{1} \sin θ_{2} \cos θ_{3} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} = r \sin θ_{1} \dots \sin θ_{n - 2} \cos θ_{n - 1} \\ x_{n} = r \sin θ_{1} \dots \sin θ_{n - 1} \end{cases}$
が示された. (厳密には数学的帰納法を用いる)

直交座標と極座標の変換公式

$n$ 次元ユークリッド空間 $R^{n}$ における, 直交座標 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ と極座標 $(r, θ_{1}, \dots, θ_{n - 1})$ において, 次の2つの等式のうちいずれかを用いることによって, 座標変換できる. 2つの等式は同値である.

${\begin{cases} x_{1} = r \cos θ_{1} \\ x_{2} = r \sin θ_{1} \cos θ_{2} \\ x_{3} = r \sin θ_{1} \sin θ_{2} \cos θ_{3} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} = r \sin θ_{1} \dots \sin θ_{n - 2} \cos θ_{n - 1} \\ x_{n} = r \sin θ_{1} \dots \sin θ_{n - 1} \end{cases}$
${\begin{cases} r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} \\ θ_{1} = \arccos \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}} \\ θ_{2} = \arccos \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}} \\ ⋮ \\ θ_{n - 1} = \arccos \frac{x_{n - 1}}{\sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n}^{2}}} = \arcsin \frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n}^{2}}} \end{cases}$

今回の目標である, n次元における直交座標と極座標の変換公式 を無事に導出することができました. 最後まで見てくださり, 本当にありがとうございました.

補足

最後に補足です. " $\dots$ " を使わずにこの変換公式を表すこともできます.

変換公式の一般的な記法

極座標と直交座標の変換 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) ⟷ (r, θ_{1}, \dots, θ_{n - 1})$ において,
${\begin{cases} x_{1} = r \cos θ_{1} \\ x_{k} = r \cos θ_{k} \prod_{s = 1}^{k - 1} \sin θ_{s} & {k \neq 1, n} \\ x_{n} = r \prod_{s = 1}^{n - 1} \sin θ_{s} \end{cases}$
${\begin{cases} r = \sqrt{\sum_{s = 1}^{n} x_{s}} \\ θ_{k} = \arccos \frac{x_{k}}{\sqrt{\sum_{s = k}^{n} x_{s}}} & {k \neq n} \\ θ_{n - 1} = \arccos \frac{x_{n - 1}}{\sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n}^{2}}} = \arcsin \frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n}^{2}}} \end{cases}$