極座標をn次元に一般化する
はじめに
今回扱う内容は "極座標" です. 一度は耳にしたこともある人も多いでしょう. 2次元の場合は数学3に, 3次元の場合は数学4の範囲に掲載されている内容です. しかし, n次元に一般化したときはどのような振る舞いをするのでしょうか. 今回はこれについて深堀りします.
極座標の定義
極座標 [Polar Coordinate] とは, $n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$における, $1$個の動径$r$と$n-1$個の偏角$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}$によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(r,\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1})$と表す.
動径 … 線分$OP$の距離
偏角 … 半直線$OP$と$x_n$軸を除く$n-1$個の座標軸それぞれとの一般角
極座標の定義です. “動径” と “偏角” の定義も記しておきました. 座標系に対する真新しい考え方なので, これだけではわかりにくいですが, 直交座標の定義と同時に見るとわかりやすいでしょう.
直交座標 [Rectangular Coordinate] とは, $n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$における, 直交する座標軸$x_1,x_2,\cdots,x_n$についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)$と表す.
おなじみの直交座標の定義です. “座標軸の成分” と少しごまかして記しました. (厳密には点$P$から座標軸$x_k$への垂直胞$\mathbb{R}^{n-1}$で定義)
直交座標は座標軸を視点におくのに対し, 極座標は動径と偏角を視点におく座標といえるでしょう. しかし, 2つの座標系は視点が違うだけで, 点$P$は同じなので, 直交座標と極座標の間で変換することができます.
直交座標と極座標において, “何らかの方法”で
$P\,(x_1,x_2,\cdots,x_n) \longleftrightarrow (r,\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1})$
と座標変換することができる.
今回の目標は, 座標変換の公式を導出することです. しかし, 極座標と直交座標の定義がいずれも抽象的すぎて, このままでは示すのが難しそうです. 今の段階では定義を理解することすらできない人もいるでしょう. ですので, まずは 2次元 や 3次元 で示すことからして, そのあと n次元 に一般化しましょう.
2次元の場合
定義
先ほどの極座標と直交座標の定義に$n=2$を代入します. 少しわかりやすいように文面を変えておきました.
極座標 とは, 座標平面$\mathbb{R}^2$における, 動径$r$と偏角$\theta$によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(r,\theta)$と表す.
動径 … 線分$OP$の距離
偏角 … 半直線$OP$と$x$軸との一般角
直交座標 とは, 座標平面$\mathbb{R}^2$における, 直交する座標軸$x,y$についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(x,y)$と表す.
2次元の場合, とてもわかりやすい定義ですね. ここで, 直交座標と極座標の変換は
$P\,(x,y)\longleftrightarrow(r,\theta)$
とできるはずです. 変換公式を導出しましょう.
偏角の向き
ここで, 気づいている人もいるかもしれませんが, ある問題点があります.
動径$r$は線分$OP$の距離なので1通りですが, 偏角$\theta$は, 線分$OP$と$x$軸との一般角ですので, 表し方は$x$軸から線分$OP$に回転する方法で, 左回りと右回りの2通りあります.
これでは不便なので, 予めどちら回りかを定義しておくべきでしょう. どちらでもよいみたいですが, 次のように定義するのが一般的です.
座標平面$(x,y)$において,
偏角$\theta$は, $x$軸正方向を起点として, $y$軸正方向に向かって 点$P$まで回転するものとする.
わかりやすくいうと, $x$軸が右向き, $y$軸が上向きとすると, 偏角$\theta$の向きは, 右から上なので, 左回りになります.
2次元の場合, 左回りで十分ですが, 3次元以上に広げる際, 先ほどの定義が重要になります. しっかりと理解しておきましょう.
変換公式
では, 変換公式の導出です. 直交座標$(x,y)$と極座標$(r,\theta)$の関係を連立方程式にして, これを解けば変換公式が求まります.
$P\,(x,y)$として, 点$P$から$x,y$軸への垂線の足を$X,Y$とする.
このとき $OP=\sqrt{x^2+y^2}$, $OX=x$, $OY=y$
動径の定義 $r\coloneqq OP$
偏角の定義 $\theta\coloneqq\angle POX$ から $\cos\theta=\dfrac{OX}{OP}$, $\sin\theta=\dfrac{OY}{OP}$
したがって,
$$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}$$
$$\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta=\arccos{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}=\arcsin{\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}} \end{cases}$$
が示された.
直交座標$(x,y)$と極座標$(r,\theta)$において, 次の2つの等式のうちいずれかを用いることによって, 座標変換できる. 2つの等式は同値である.
$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}$
$\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta=\arccos{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}=\arcsin{\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}} \end{cases}$
変換公式が求まりました. これによって, 一方の座標がわかればもう一方もわかるようになります.
具体例を2つ記しました. 公式に代入すると, どちらの方向でも変換できます.
- $(r,\theta)=(2,\dfrac{\pi}{3})\,\longleftrightarrow\, (x,y)=(1,\sqrt{3})$
- $(x,y)=(1,1)\,\longleftrightarrow\,(r,\theta)=(\sqrt2,\dfrac{\pi}{4})$
極方程式
ここからは少し余談です. 今回の目標からは少しずれますが, 重要な概念ですので軽く紹介します.
極方程式 [Polar Function] とは, 座標平面$\mathbb{R}^2$における, 極座標$(r,\theta)$を用いて, 陰関数$f(r,\theta)=0$で表した方程式のこと.
定義だけではわかりにくいですが, 陰関数の定義が “$f(x,y)=0$をみたす点全体の集合” ということを考えれば, 極方程式は, “$f(r,\theta)=0$をみたす点全体の集合” と捉えればよさそうです. このように考えれば, 陰関数の変換$f(x,y)=0\,\leftrightarrow\,f(r,\theta)=0$についても, 先ほどの変換公式が使えます.
陰関数$f(x,y)=0$ または 極方程式$f(r,\theta)=0$ において, 座標変換の公式を代入することで, $f(x,y)=0\,\leftrightarrow\,f(r,\theta)=0$ と互いに他の方程式に変換できる.
極方程式の変換公式を用いる, いくつかの具体例です.
直線 $x-\sqrt{3}\,y=2$ を極方程式に変換すると, $(r\cos\theta)-\sqrt{3}\,(r\sin\theta)=2$ より $r\,\cos(\theta+\dfrac{\pi}{6})=1$
楕円 $3(x-1)^2+4y^2=12$ を極方程式に変換すると, $3\,(r\cos\theta-1)^2+4\,(r\sin\theta)^2=12$ より $r\,(2-\cos\theta)=3$
カージオイド $r=1+\cos\theta$ を陰関数に変換すると, $\sqrt{x^2+y^2}=1\,+\cos(\arccos\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ より $x+\sqrt{x^2+y^2}=x^2+y^2$
また, 極方程式を用いることで, 次のようなとても多くの曲線を表現することができます. 一部の曲線については, 陰関数も記しておきます. (以下のものは一般例ではありません)
- 直線 [Linear Line] ... $r\,\cos\,(\theta\,+\dfrac{\pi}{6})=1\,\longleftrightarrow\,x-\sqrt{3}\,y=2$
- 楕円 [Elipse] ... $r\,(2-\cos\theta)=3\,\longleftrightarrow\,3(x-1)^2+4y^2=12$
- 双曲線 [Hyperbola] ... $r\,(1+2\cos\theta)=3\,\longleftrightarrow\,3(x-2)^2-y^2=3$
- 正葉曲線 [Rose Curve] ... $r=\sin 3\theta$
- カージオイド [Cardioid] ... $r=1+\cos\theta$
- 対数螺旋 [Logarithmic Spiral] ... $r=e^\theta$
2重積分
もう1つ余談です. 座標変換の公式 の応用例です.
$(x,y)=(X\,(t,u),\,Y\,(t,u))$ と変数変換したとき,
$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy=\iint_{D}f(X\,(t,u),\,Y\,(t,u))\cdot|\det J\,|\,dtdu$$
ここで, ヤコビアン [Jacobian] は, $J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial X}{\partial t} & \frac{\partial Y}{\partial t} \\
\frac{\partial X}{\partial u} &\frac{\partial Y}{\partial u}
\end{pmatrix}$ の行列式
重積分における, おなじみの公式です.
2重積分の中には, $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ と変数変換することで, 計算しやすくなるものもあります.
$$\iint_{D}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy \qquad D:\,\{x^2+y^2\leq1\}$$
$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ として, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ をみたす.
また, $D:\,\{x^2+y^2\leq 1\}\rightarrow\{0\leq r\leq1,\:0\leq\theta<2\pi\}$ であり,
$\det J=\begin{vmatrix} (r\cos\theta)_r & (r\sin\theta)_r \\ (r\cos\theta)_{\theta} & (r\sin\theta)_{\theta} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}=\cos\theta\cdot r\cos\theta\,-\sin\theta\cdot(-r\sin\theta)=r$ であるから
$\displaystyle\iint_{D}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy=\iint_{D}\dfrac{1}{r}\cdot \det J\,drd\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\dfrac{1}{r}\cdot r\,drd\theta=\int_{0}^{1}dr\int_{0}^{2\pi}d\theta$ $=$$2\pi$
$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ のとき, ヤコビアンは $\det J=$$r$ となります. 割と有名な公式です.
$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$$
$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$ として,
$I^2=\displaystyle\bigg(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\bigg)^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\,dy$
$=$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-y^2}\,dxdy=\iint_{\mathbb{R}}e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$
ここで, $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ として, $r^2=x^2+y^2$ をみたす.
また, $\det J=r$, $D:\,\{x,y\in\mathbb{R}\}\rightarrow\{r\geq 0\,,\, 0\leq\theta\leq 2\pi\}$ であるから,
$$I^2=\iint_{\mathbb{R}}e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}\cdot r\,drd\theta=\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr\int_{0}^{2\pi}d\theta=\bigg[\dfrac{1}{2}e^{-r^2}\bigg]_{0}^{\infty}\big[\theta\big]_{0}^{2\pi}=\pi$$
$I>0$ より $I=$$\sqrt{\pi}$
ガウス積分 [Gaussian Integral] とよばれる, 非常に有名な積分公式です. 最も美しい公式として知られています.
証明の途中, 赤字で "=" と示した部分は, 数学的に少し厳密性に欠けています. (厳密には, 広義積分の一様収束から積分と極限の交換可能性を示せばよい)
3次元の場合
ここからは本題です. 2次元 から 3次元 に拡張します.
定義
極座標と直交座標の定義に$n=3$を代入します.
極座標 とは, 座標空間$\mathbb{R}^3$における, 動径$r$と偏角$\theta,\phi$によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(r,\theta,\phi)$と表す.
動径 … 線分$OP$の距離
偏角 … 半直線$OP$と$x,y$軸それぞれとの一般角
直交座標 とは, 座標空間$\mathbb{R}^3$における, 直交する座標軸$x,y,z$についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(x,y,z)$と表す.
お察しの通り, 座標変換の方法は
$P:\,(x,y,z)\,\longleftrightarrow\,(r,\theta,\phi)$
となるはずです. 同じように導出しましょう.
偏角の向き
座標空間$(x,y,z)$において, 点$P$から$yz$平面への垂線の足を$H$とする.
偏角$\theta$は, $x$軸正方向を起点として, 平面$OPH$の内部を$yz$平面の方向に向かって, 点$P$まで回転し,
偏角$\phi$は, $y$軸正方向を起点として, $yz$平面の内部を$z$軸正方向に向かって, 点$H$まで回転するものとする.
3次元における偏角の向きの一般的な定義です. 2次元のときよりも 条件がとても多く, 格段にわかりにくく, また噛み砕いて説明するのが困難ですが, 3次元における偏角の向きが, 2次元からの自然な拡張であることを意識してみれば, 理解できるようになるでしょう.
3次元以上における偏角の向きには, 人によって解釈の違いがあり, これといった定義がありません. ここでは, 最もわかりやすく, かつ一般的に通用している定義を採用します.
変換公式
2次元と同様に, 直交座標$(x,y,z)$と極座標$(r,\theta,\phi)$の関係を連立方程式にして, これを解けば変換公式が求まります. 先ほどの偏角の向きを意識すれば, 楽に導出できるでしょう.
$P\,(x,y,z)$ とする.
点$P$から$x$軸, $yz$平面への垂線の足を$X,H$として, 点$H$から$y,z$軸への垂線の足を$Y,Z$とする.
このとき $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $OH=\sqrt{y^2+z^2}$, $OX=x$, $OY=y$, $OZ=z$
また, 動径と偏角の定義から
$r\coloneqq OP$
$\theta\coloneqq\angle POX$ より $\cos\theta=\dfrac{OX}{OP}$, $\sin\theta=\dfrac{OH}{OP}$
$\phi\coloneqq\angle HOY$ より $\cos\phi=\dfrac{OY}{OH}$, $\sin\phi=\dfrac{OZ}{OH}$
したがって,
$$ \begin{cases}
x=r\cos\theta \\
y=r\sin\theta\cos\phi \\
z=r\sin\theta\sin\phi
\end{cases} $$
$$ \begin{cases}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
\theta=\arccos\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\
\phi=\arccos\dfrac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}=\arcsin\dfrac{z}{\sqrt{y^2+z^2}}
\end{cases}$$
が示された.
直交座標$(x,y,z)$と極座標$(r,\theta,\phi)$において, 次の2つの等式のうちいずれかを用いることによって, 座標変換できる. 2つの等式は同値である.
$\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta\cos\phi \\ z=r\sin\theta\sin\phi \end{cases}$
$\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arccos\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \phi=\arccos{\dfrac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}}=\arcsin\dfrac{z}{\sqrt{y^2+z^2}} \end{cases}$
3次元の場合の変換公式が求まりました. 蛇足なので, 具体例は省略します.
3重積分
$(x,y,z)=(X\,(t,u,v),\,Y\,(t,u,v),\,Z\,(t,u,v))$ と変数変換したとき,
$$\iiint_{D}f(x,y)\,dxdydz=\iiint_{D}f(X,Y,Z)\cdot|\det J\,|\,dtdudv$$
ここで, ヤコビアン は, $J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial X}{\partial t} & \frac{\partial Y}{\partial t} & \frac{\partial Z}{\partial t} \\
\frac{\partial X}{\partial u} &\frac{\partial Y}{\partial u} & \frac{\partial Z}{\partial u} \\
\frac{\partial X}{\partial v} &\frac{\partial Y}{\partial v} & \frac{\partial Z}{\partial v}
\end{pmatrix}$ の行列式
とても仰々しいですが, 2重積分 から拡張したものだと考えれば, 公式の意味をすぐに理解できます.
これもまた, 変換公式を用いて$(x,y,z)\rightarrow(r,\theta,\phi)$ とすることで, 計算しやすくなるものもあります. 面倒くさいですが, ヤコビアンの導出はしておきましょう.
$(x,y,z)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta\cos\phi,\,r\sin\theta\sin\phi)$ とする.
このとき,
$\frac{\partial x}{\partial r}=(r\cos\theta)_r=\cos\theta$
$\frac{\partial y}{\partial r}=(r\sin\theta\cos\phi)_r=\sin\theta\cos\phi$
$\frac{\partial z}{\partial r}=(r\sin\theta\sin\phi)_r=\sin\theta\sin\phi$
$\frac{\partial x}{\partial \theta}=(r\cos\theta)_{\theta}=-r\sin\theta$
$\frac{\partial y}{\partial \theta}=(r\sin\theta\cos\phi)_{\theta}=r\cos\theta\cos\phi$
$\frac{\partial z}{\partial \theta}=(r\sin\theta\sin\phi)_{\theta}=r\cos\theta\sin\phi$
$\frac{\partial x}{\partial \phi}=(r\cos\theta)_{\phi}=0$
$\frac{\partial y}{\partial \phi}=(r\sin\theta\cos\phi)_{\phi}=-r\sin\theta\sin\phi$
$\frac{\partial z}{\partial \theta}=(r\sin\theta\sin\phi)_{\phi}=r\sin\theta\cos\phi$
であるから,
ヤコビアンは
$\det J=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r} \\
\frac{\partial x}{\partial \theta} &\frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \\
\frac{\partial x}{\partial \phi} &\frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \phi}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\
-r\sin\theta & r\cos\theta\cos\phi & r\cos\theta\sin\phi \\
0 & -r\sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi
\end{vmatrix}$
ここで サラスの公式より, $\det J=$$r^2 \sin\theta$
9回の偏微分と行列式の計算に心が折れそうになりました. もう二度とやりたくないです.
n次元に一般化する
定義
最初に記した, 極座標と直交座標の定義です. 最初とは違い, すんなりと理解できるでしょう.
極座標 とは, $n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$における, $1$個の動径$r$と$n-1$個の偏角$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}$によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(r,\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1})$と表す.
動径 … 線分$OP$の距離
偏角 … 半直線$OP$と$x_n$軸を除く$n-1$個の座標軸それぞれとの一般角
直交座標 とは, $n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$における, 直交する座標軸$x_1,x_2,\cdots,x_n$についてのそれぞれの成分によって定められた座標のこと. 座標上の点を$P\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)$と表す.
偏角の向き
2次元や3次元で定義された偏角の向きも, n次元に一般化することができます. とてもわかりにくいので, 読み飛ばしていただいて結構です.
$n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$において, 直交座標$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$として, $n-1$個の偏角を $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}$ とする.
また, 点$P$から胞$x_2 x_3 \cdots x_n$, 点$H_1$から胞$x_3 x_4\cdots x_n$,$\cdots$, 点$H_{n-2}$から$x_n$軸 への垂線の足を $H_1,H_2,\cdots,H_{k-1}$ と定める.
このとき, $k=\{1,2,\cdots,n-1\}$において, 偏角$\theta_k$は, $x_k$軸正方向を起点にして, 平面$OPH_k$の内部を, 胞$x_k \cdots x_{n-1}$の方向に, 点$H_{k}$ ($k=n-1$のときは点$P$) まで回転するものとする.
変換公式
n次元における, 極座標と直交座標の変換公式を導出します. 抽象的でわかりにくいですが, 2次元や3次元からの一般化と考えれば, 難なく理解できるでしょう.
$P\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)$とする.
点$P$から胞$x_2 x_3 \cdots x_n$, 点$H_1$から胞$x_3 x_4\cdots x_n$,$\cdots$, 点$H_{n-2}$から$x_n$軸 への垂線の足を$H_1,H_2,\cdots,H_{n-1}$ として,
点$P,H_1,\cdots,H_{n-1}$から$x_1,x_2,\cdots,x_n$軸への垂線の足をそれぞれ $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とする.
このとき, $OP=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$, $OH_2=\sqrt{x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2}$,$\cdots$, $OH_{n-1}=\sqrt{x_{n-1}^2+x_n^2}$,
$OX_1=x_1$, $OX_2=x_2$,$\cdots$, $OX_n=x_n$
また, 動径と偏角の定義から
$r\coloneqq OP$
$\theta_1 \coloneqq\angle POX_1$ より $\cos\theta_1=\dfrac{OX_1}{OP}$, $\sin\theta_1=\dfrac{OH_1}{OP}$
$\theta_2 \coloneqq\angle H_1 OX_2$ より $\cos\theta_2=\dfrac{OX_2}{OH_1}$, $\sin\theta_2=\dfrac{OH_2}{OH_1}$
$\vdots$
$\theta_{n-1} \coloneqq\angle H_{n-2} OX_{n-1}$ より $\cos\theta_2=\dfrac{OX_{n-1}}{OH_{n-2}}$, $\sin\theta_2=\dfrac{OX_n}{OH_{n-2}}$
したがって,
$$ \begin{cases}
x_1=r\cos\theta_1 \\
x_2=r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
x_3=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
\vdots \\
x_{n-1}=r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\\
x_n=r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{n-1}
\end{cases} $$
が示された. (厳密には数学的帰納法を用いる)
$n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$における, 直交座標$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$と極座標$(r,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})$において, 次の2つの等式のうちいずれかを用いることによって, 座標変換できる. 2つの等式は同値である.
$$ \begin{cases}
x_1=r\cos\theta_1 \\
x_2=r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
x_3=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
\vdots \\
x_{n-1}=r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\\
x_n=r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{n-1}
\end{cases} $$
$$\begin{cases}
r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} \\
\theta_1=\arccos\dfrac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}} \\
\theta_2=\arccos\dfrac{x_2}{\sqrt{x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2}} \\
\vdots\\
\theta_{n-1}=\arccos\dfrac{x_{n-1}}{\sqrt{x_{n-1}^2+x_n^2}}=\arcsin\dfrac{x_n}{\sqrt{x_{n-1}^2+x_n^2}}
\end{cases}$$
今回の目標である, n次元における直交座標と極座標の変換公式 を無事に導出することができました. 最後まで見てくださり, 本当にありがとうございました.
補足
最後に補足です. "$\cdots$" を使わずに この変換公式を表すこともできます.
極座標と直交座標の変換$(x_1,x_2,\cdots,x_n)\longleftrightarrow (r,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})$ において,
$$\begin{cases}
x_1=r\cos\theta_1 \\
x_k=r\cos\theta_k\displaystyle\prod_{s=1}^{k-1}\sin\theta_s & \{k\ne 1,n\} \\
x_n=r\displaystyle\prod_{s=1}^{n-1}\sin\theta_s
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
r=\sqrt{\displaystyle\sum_{s=1}^{n}x_s} \\
\theta_k=\arccos\dfrac{x_k}{\sqrt{\displaystyle\sum_{s=k}^{n}x_s}} & \{k\ne n\} \\
\theta_{n-1}=\arccos\dfrac{x_{n-1}}{\sqrt{x_{n-1}^2+x_n^2}}=\arcsin\dfrac{x_n}{\sqrt{x_{n-1}^2+x_n^2}}
\end{cases}$$
