連分数で遊ぼう！
あいさつ
んちゃ！
今回は連分数で遊ぶよ！
記号を定義
任意の複素数$a,b,c,d\in\mathbb{C}(a,c\neq0)$に対して以下の記号を定める。
これを連分演算子と名づける
\begin{equation}
\frac{b}{a}\boxplus\frac{d}{c}\coloneqq\frac{b}{a+\frac{d}{c}}
\end{equation}
$\boxplus$は結合法則を満たさないので必ず最右側の項に対して計算実行する。
なお複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}(a_{i}\neq0;i=1,2,...)$に対して以下の記号を定める。
\begin{equation}
\boxplus_{k=1}^{N}\frac{b_{k}}{a_{k}}\coloneqq\underbrace{\frac{b_{1}}{a_{1}}\boxplus\frac{b_{2}}{a_{2}}\boxplus\cdots\boxplus\frac{b_{N}}{a_{N}}}_{N個}
\end{equation}
連分数を構成する
複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}(a_{i}\neq0;i=0,1,2,...)$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{N}\frac{b_{0}}{a_{0}}=\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}\boxplus_{n=2}^{N}\frac{-b_{N-2}a_{n-1}^{2}b_{n}}{a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1}}
\end{equation}
[1]$N=1$の場合
\begin{eqnarray}
\frac{b_{0}}{a_{0}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}&=&\frac{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}{a_{0}a_{1}}\\
&=&\frac{b_{0}}{\frac{a_{0}a_{1}b_{0}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}+\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}
\end{eqnarray}
[2]$N=2$の場合
\begin{eqnarray}
\frac{b_{0}}{a_{0}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}+\frac{b_{2}}{a_{2}}&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}\boxplus\frac{-a_{1}^{2}b_{2}}{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}+\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+b_{0}(a_{1}+\frac{-a_{1}^{2}b_{2}}{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}})}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}+\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}+\frac{-b_{0}a_{1}^{2}b_{2}}{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}\boxplus\frac{-b_{0}a_{1}^{2}b_{2}}{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}
\end{eqnarray}
[3]そこで1,2,...,Nまで成り立つと仮定する。すると$N+1$の場合も成り立つ事が証明できるので証明完了。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{N+1}\frac{b_{n}}{a_{n}}&=&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{b_{n}}{a_{n}}+\frac{b_{N}}{a_{N}}+\frac{b_{N+1}}{a_{N+1}}\\
&=&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{b_{n}}{a_{n}}+\frac{b_{N}}{a_{N}+\frac{-a_{N}^{2}b_{N+1}}{a_{N}b_{N+1}+a_{N+1}b_{N}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}(\boxplus_{n=2}^{N-1}\frac{-b_{N-2}a_{n-1}^{2}b_{n}}{a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1}})\boxplus\frac{-b_{N-2}a_{N-1}^{2}b_{N}}{a_{N-1}b_{N}+b_{N-1}(a_{N}+\frac{-a_{N}^{2}b_{N+1}}{a_{N}b_{N+1}+a_{N+1}b_{N}})}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}(\boxplus_{n=2}^{N-1}\frac{-b_{N-2}a_{n-1}^{2}b_{n}}{a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1}})\boxplus\frac{-b_{N-2}a_{N-1}^{2}b_{N}}{a_{N-1}b_{N}+b_{N-1}a_{N}+\frac{-b_{N-1}a_{N}^{2}b_{N+1}}{a_{N}b_{N+1}+a_{N+1}b_{N}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}(\boxplus_{n=2}^{N+1}\frac{-b_{N-2}a_{n-1}^{2}b_{n}}{a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1}})
\end{eqnarray}
複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}(a_{i},c_{i}\neq0;i=0,1,2,...)$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{N}\frac{b_{0}}{a_{0}}=\frac{c_{0}b_{0}}{c_{0}a_{0}}\boxplus\frac{-c_{0}c_{1}a_{0}^{2}b_{1}}{c_{1}(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})}\boxplus_{n=2}^{N}\frac{-c_{n-1}c_{n}b_{n-2}a_{n-1}^{2}b_{n}}{c_{n}(a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1})}
\end{equation}
作ってみようぜ
以下の連分数が成り立つ。
\begin{equation}
\log{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}=\frac{1}{1}\boxplus\frac{1^{2}}{1}\boxplus_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2)^{2}}{1}
\end{equation}
$a_{n}=(-1)^{n}(n+1),b_{n}=1$とし、分母分子に$0$でない同一の複素数をかけても分数の値が変わらない事実を用いるとすぐに証明できる。
任意の自然数$p\in\mathbb{N}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\log{p}=\frac{1}{1}\boxplus\frac{p-1}{p+1}\boxplus_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2)^{2}p^{2k+2}(p-1)^{2k+2}}{(k+3)p^{k+2}(p-1)^{k+1}-(k+2)p^{k+1}(p-1)^{k+2}}
\end{equation}
\begin{eqnarray} \log{p}&=&-\log{(1-\frac{p-1}{p})}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(p-1)^{n}}{(-1)^{n}(n+1)p^{n}}\\ &=&\frac{1}{1}\boxplus\frac{-(p-1)}{p-1-2p}\boxplus_{k=0}^{\infty}\frac{-(k+2)^{2}p^{2k+2}(p-1)^{2k+2}}{(-1)^{k+1}(k+2)p^{k+1}(p-1)^{k+2}+(-1)^{k+2}(k+3)p^{k+2}(p-1)^{k+1}}\\ &=&\frac{1}{1}\boxplus\frac{-(p-1)}{-1-p}\boxplus_{k=0}^{\infty}\frac{-(k+2)^{2}p^{2k+2}(p-1)^{2k+2}}{(-1)^{k+1}(k+2)p^{k+1}(p-1)^{k+2}+(-1)^{k+2}(k+3)p^{k+2}(p-1)^{k+1}}\\ &=&\frac{1}{1}\boxplus\frac{p-1}{p+1}\boxplus_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2)^{2}p^{2k+2}(p-1)^{2k+2}}{(k+3)p^{k+2}(p-1)^{k+1}-(k+2)p^{k+1}(p-1)^{k+2}} \end{eqnarray}
以下任意の複素数列$\vb*{\alpha}\coloneqq\{\alpha_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して以下表記を定める。
\begin{equation}
\{\vb*{\alpha}\}_{n}\coloneqq\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}
\end{equation}
以下任意の複素数列$\vb*{\alpha}\coloneqq\{\alpha_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して以下表記を定める。
\begin{equation}
(\{\vb*{\alpha}\}_{N})_{n}=\prod_{k=0}^{N}(\alpha_{k})_{n}
\end{equation}
これを一般化pochhammer記号記号と呼ぶ事にする。
複素数列$\vb*{\alpha}\coloneqq\{\alpha_{n}\}_{n\in\mathbb{N}},\vb*{\beta}\coloneqq\{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して定まる超幾何関数は以下の連分数で表せる。
\begin{eqnarray}
{}_{p}F_{q}(\{\vb*{\alpha}\}_{p};\{\vb*{\beta}\}_{q};z)=\frac{1}{1}\boxplus\frac{-(\{\vb*{\alpha}\}_{p})_{1}z}{(\{\vb*{\alpha}\}_{p})_{1}z+(\{\vb*{\beta}\}_{q})_{1}}\boxplus_{k=0}^{\infty}\frac{-(\{\vb*{\alpha}\}_{p})_{k}\{(k+1)!\}^{2}(\{\vb*{\beta}\}_{q})_{k+1}^{2}(\{\vb*{\alpha}\}_{p})_{k+2}z}{(k+1)!(\{\vb*{\beta}\}_{q})_{k+1}(\{\alpha\}_{p})_{k+2}z+(k+2)!(\{\vb*{\beta}\}_{q})_{k+2}(\{\alpha\}_{p})_{k+1}}
\end{eqnarray}
$a_{n}=n!(\{\vb*{\beta}\}_{q})_{n},b_{n}=(\{\vb*{\alpha}\}_{p})_{n}z^{n}$とおけばよい。
そして各項について$z,z^{2},z^{3},...$で分母分子を割っていくと導出できる。
最後に
ここまで見ていただいた方には分かると思いますが所詮同値変形と帰納法を使用できる様式変形して導出したに過ぎません。
そんな感じなので一見して摩訶不思議な式も落ち着いて対処すれば案外どうとでもなるものです。
ではまたねばいちゃ!
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