整式の方程式の複素数解を求める際に役に立つかもしれない考え方

導入

以下の方程式の解を求めてください.
(1)$x^4+1=0$
(2)$x^4-x^2+1=0$

私たちが知っている公式は以下である.

この公式をうまく使って上の例題を解いてあげようというのがこの記事の旨である.

解

(1)両辺に$x^4-1 $をかけると$x^8-1=0$となる.公式を用いてあげると以下が解であることがわかる.

このうちかけた分($x^4-1=0$)の解は$0,2,4,6 $の点なので$1,3,5,7$がこの解である.

(2)$x^4-x^2+1=0$の両辺に$x^2+1$をかけると$x^6+1=0$が得られ,さらに$x^6-1$をかけると$x^{12}-1=0$が得られる.この解は以下の点である.

このうちかけた分($x^2+1=0$,$x^6-1=0$)の解は$3,6 $と$0,2,4,6,8,10 $の点なので$1,5,7,11$がこの解である.