整式の方程式の複素数解を求める際に役に立つかもしれない考え方

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以下の方程式の解を求めてください.
(1) $x^{4} + 1 = 0$
(2) $x^{4} - x^{2} + 1 = 0$

私たちが知っている公式は以下である.

$z^{n} = 1$ の解は $z = α_{k} = \cos \frac{2 k π}{n} + i \sin \frac{2 k π}{n}, (k = 0, . . ., n - 1)$ である.複素数平面上にこの点を描画すると以下のような図1となり,隣り合う点を結ぶと正n角形ができる.

この公式をうまく使って上の例題を解いてあげようというのがこの記事の旨である.

(1)両辺に $x^{4} - 1$ をかけると $x^{8} - 1 = 0$ となる.公式を用いてあげると以下が解であることがわかる.

このうちかけた分( $x^{4} - 1 = 0$ )の解は $0, 2, 4, 6$ の点なので $1, 3, 5, 7$ がこの解である.

(2) $x^{4} - x^{2} + 1 = 0$ の両辺に $x^{2} + 1$ をかけると $x^{6} + 1 = 0$ が得られ,さらに $x^{6} - 1$ をかけると $x^{12} - 1 = 0$ が得られる.この解は以下の点である.

このうちかけた分( $x^{2} + 1 = 0$ , $x^{6} - 1 = 0$ )の解は $3, 6$ と $0, 2, 4, 6, 8, 10$ の点なので $1, 5, 7, 11$ がこの解である.

投稿日：3月11日

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数学。主に積分。

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