大数二月号宿題

(解)
$n^{[ \frac{m^{2}+5}{2} ]} -2m^{n+1}=2025 …(★)$ を満たす正の整数組$(m,n)$
$[ \frac{m^{2}+5}{2} ]= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{m^{2}+5}{2} (m \in odd )\\ \frac{m^{2}+4}{2}(m \in even) \end{array} \right. \end{eqnarray} $

$p$を$3$または$5$とするこのとき
$m≡0(modp)\Longleftrightarrow n≡0(modp)$
このことから以下の場合について考えればよい
(Ⅰ)$m≡n≡0(mod5)$
(Ⅱ)$m≡n≡0(mod3)$
(Ⅲ)$m,n$はともに$15$と互いに素

(Ⅰ)の場合
$v_5$((★)の左辺)$≧6$かつ$v_5$((★)の右辺)=$2$より不適

(Ⅱ)の場合
$n≧6$のとき
$v_3$((★)の左辺)$≧7$かつ$v_3$((★)の右辺)$=4$より不適
よって$n=3$に限られて
また$m=3a$($a$は正の整数)とおけて
$(i)$$a=1$のとき$(★)$は成立
$(ii)$$a≧2$のとき
$[ \frac{(3a)^{2}+5}{2} ]\gt 3a+2$を利用して
$(n^{[ \frac{(3a)^{2}+5}{2} ]} \gt )n^{3a+2}\gt 2(3a+2)^3+2025$を数学的帰納法で示して
このとき$(★)$を満たす正の整数組$(m,n)$は存在しない

(Ⅲ)$(★)$の$mod2$を考えて$n≡1(mod2)…①$
$(iii)$$m$が偶数のとき$m^2≡0(mod4)$より
$[ \frac{m^{2}+5}{2} ]=\frac{m^{2}+4}{2}$が偶数であることに注意すると
このときフェルマーの小定理より
$((★)$の左辺$)$≡$-1$$(mod3)$,$((★)$の右辺$)$≡$0$より不適

$(iv)m$が奇数のとき
$[ \frac{m^{2}+5}{2} ]=\frac{m^{2}+5}{2}$
フェルマーの小定理より$m^2+5$は$3$の倍数で$\frac{m^{2}+5}{2}$も$3$の倍数
ここで$(★)$の$mod3$を考えると
$n^{ \frac{m^{2}+5}{2} } -2m^{n+1}≡0(mod3)$
$n^{ \frac{m^{2}+5}{2} } ≡2(mod3)$ $( \because $フェルマーの小定理$)$
このとき$n≡2(mod3)$が必要
このとき$n+1=6N$$(N$は正の整数$)$
ここで法$7$における立法剰余を考えると $t^3≡-1,0,1(mod7)$に限られる
フェルマーの小定理より
$m^{6N}≡\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0 (m≡0(mod7) )\\ 1(m\not\equiv0(mod7)) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
ここで$(★)$を$mod7$で考える
$((★)$の左辺$)$≡$0,1,4,5,6$に限られるが
$((★)$の右辺$)≡2$より不適
以上(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)より求める正の整数組$(m,n)$は
$(m,n)=(3,3)$
(追記)$(Ⅰ)$不要でしたね…(後で気づきました)