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Hirsch 微分トポロジーの問題1.1.10 2つの原点を持つ直線

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

前回の問題1.1.9は、順序数がどうの解析構造がどうのとかなりややこしい空間で難しすぎたため体力0となってしまいました。そのため今回は超省エネの記事です。

問題1.1.10 2つの原点を持つ直線

　$L$を、$(\mathbb R×1)\cup (\mathbb R×0)$から$x\neq 0$のとき$(x,1)$と$(x,0)$を同一視してできる商空間とする。このとき$L$は、2つの原点を持つ直線と呼ばれるHausdorffではない1次元多様体である。

　この定義は、単に直線上を動く物体が原点を横切る時に、点1の方のルートを通るか点0の方のルートを通るかを選べる直線と言っているだけです。

　非Hausdorff性は、点$(0,1),(0,0)$の開近傍をそれぞれ任意に取ったとき、必ず同一視している直線部分の$(0,1),(0,0)$近傍の元を同時に含むため、この2点が分離出来ないことから従う。
　$C^ω$である事は、$(0,1)$の方を通るルートの直線を$L_1$,$(0,0)$の方を通るルートの直線を$L_0$とすると、$L_1,L_0$は単に第一成分の射影によりそれぞれ$\mathbb R$へのチャートが構成でき、それによる座標変換は恒等変換となることから従う。