足し算のシンプルな定義から可換性を示す

$b=0$の場合
後者関数の$n$回合成を$S^n(k)$と示すとき
各自然数の定義より
$a=S^n(0)$を満たす自然数$n$がただ一つ存在して
このとき、足し算の定義から
$S^n(0)+0=S^{n-1}(0)+S(0)$の反復として$k<n$について
$S^{n-k}(0)+S^k(0)=S^{n-k-1}(0)+S^{k+1}(0)$ が成り立つことから
すべての自然数aについて$a+b=b+a$が成り立つと示せる
$b=c$の場合にすべての自然数aについて成り立つと仮定し
$b=c+1$の場合を考える
$a+b=a+S(c)$ bの仮定より
$a+S(c)=S(a)+c$ 足し算の定義より
$S(a)$は0を除く自然数すべてをとり、a+cはすべての自然数aについてa+c=c+aであるため
$S(a)+c=c+S(a)$
この時、a=0について考えなければならないが、これはb=0の場合の等値関係から明らかに満たすため
$a+S(c)=S(c)+a$はすべての自然数aについて成り立つ
これらによって任意の自然数a,bについてa+b=b+aが成り立つことが示された