3次方程式の特殊な解き方かと思うじゃん？

こんちくは

こんにちは。本日、散歩ついでに買い物をしてきたのですが、散歩するにも暑い季節になってきましたね〜。ちょっと汗かいちゃった。そんな夏の近い本日の話題は3次方程式です。やっていきましょー。

もくじ

$\fbox{1}$問題&解答
$\fbox{2}$種明かし
$\fbox{3}$演習問題

$\fbox{1}$問題&解答

早速問題を見てみましょう。

まあ、カルダノしてもよいですが、それよりもはるかに楽な方法が存在します。

$解答$
$x$に対して、新たな変数$y$を用いて
\begin{align*} x=y-2 \end{align*}
と変数変換をする。すると、
\begin{align*} &x^3+6x^2+12x+1=0\\ &\Leftrightarrow (y-2)^3+6(y-2)^2+12(y-2)+1=0\\ &\Leftrightarrow y^3-7=0\\ &\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{7}\:,\:\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{7}\:,\:-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{7} \end{align*}
よって、
\begin{align*} x=&-2+\sqrt[3]{7}\:,\\ &-2+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{7}\:,\\ &-2-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{7} \end{align*}

言いたいことは分かります。何が起こったんだと、なんでそんな変換しようと思ったんだと。安心してください。しっかり解説します。

$\fbox{2}$種明かし

さて、今回の操作について解説する前に、一般的な3次方程式には最初にどのような操作をするか確認しましょう。
一般の3次方程式
\begin{align*} ax^3+bx^2+cx+d=0 \end{align*}
には、新たな変数$y$を用いて
\begin{align*} x=y-\frac{b}{3a} \end{align*}
と変数変換をします。これをすることにより、2次の項を消去できます。
この操作を立体完成、立方完成と呼ぶらしいです。(平方完成的なノリ🦆)
ここで、僕は風呂で思いました。
「なんで2次の項だけなの？1次の項も同時に消去してしまえばいいのに。」
そして、それが実際にできるならカルダノの方法よりもそれが出回っているだろうと思い、次の予想を立てました。
一般の3次方程式に対してはできないが、限られた3次方程式には1,2次の項を同時に消去する変換があるはず(この変換をこの記事では「完成変換」と呼ぶことにします。カッコつけたいだけだよ、ほっといてくれ。)
これです。$\fbox{1}$ではこの予想を行動に移したものでした。
$\fbox{2}$では予想が確かに正しいものであって、方程式を見た時にそれに完成変換が使えるのかの判別方法と完成変換の構成方法を見ていきます。

まずは完成変換が確かに正しいものであることを確認しましょう。
一般の三次方程式
\begin{align*} ax^3+bx^2+cx+d=0 \end{align*}
に対して、とある実数定数$k$と新たな変数$y$を用いて
\begin{align*} x=y+k \end{align*}
と変数変換します。これを代入して整理すると、
\begin{align*} ay^3+(3ak+b)y^2+(3ak^2+2bk+c)y+(ak^3+bk^2+ck+d)=0 \end{align*}
今我々が求めているのはこれの2次と1次の項が消えるような$k$です。
2次、1次の項の係数をそれぞれ$k$について解いてみましょう。
\begin{align*} &y^2\rightarrow k=-\frac{b}{3a}\\ &y\rightarrow k=-\frac{b}{3a}\pm\frac{\sqrt{b^2-3ac}}{3a} \end{align*}
$k$は一つしか取れないので、この両方が一致する必要があります。そのためには、1次の項の$\pm\dfrac{\sqrt{b^2-3ac}}{3a}$には消えてもらわなければいけません。その条件は$b^2-3ac=0$となることです。さあ、これこそが我々の欲しかった完成変換の存在性と条件です。

うーーーーん。これ、今気づいたんですが、立体完成とまったく同じですね。恥ずかしい。なんなんだよ。
完成変換とか抜かしたのマジハズイ。キャー！
ここまで書いたし、顔面真っ赤のまま走り抜けようと思います。

これが$\fbox{1}$の全てです。恥ずかしいホント。

$\fbox{3}$演習問題

演習問題いる？まあ、一応置いておきます。

以下の方程式を解け。
\begin{align*} &[1]x^3+9x^2+27x+2=0\\ &[2]3x^3+21x^2+49x+15=0\\ &[3]3x^3+3x^2+x+7=0 \end{align*}

おわり

風呂で得た発想を風呂から上がって紙とペンで確かめたら実際にできて、めっちゃテンション高かったのに全然新しい事実とかではありませんでした。くそ。記事の最初のほう、めっちゃニコニコで書いていたのに現在引くほど真顔です。今日の寝つきは最悪だと思います。はあ。ほな、さいなら...