JMO2014 ho P5の解説

まさかのJMO本戦ボスが解けっちゃったかもしれないので、記事にしようかなという感じです.

解くまでの過程

ぱっと見て$a=b=c=1/3$ のとき左辺が$1/2 $ となり,この不等式の等式を満たす.
ここで, 条件の非負実数という点に注目すると,　$a=0,b=c=1/2$ の代入が気になります. これを実際に代入すると,
$$ \frac{4}{4+k}\geq\frac{1}{2}$$
つまり,$4\geq k$の範囲で成立することがわかる.
なんかこの条件,必要十分っぽいな～との感想を持つので, これを証明しにかかろうと思う.
($a=1/2,b=c=1/4$のときを見ると$k$のじょうけんがゆるくなることも考えられる要因の一つ)
あとは$k=4$のとき,成立するか見るだけ...って感じでした.

(あと最小値としては怪しかったのは$1+9ac+k(a-c)^2$の$ac$の項が消える$k=9/4$ とかですね～)

このとき常套手段の無理やりコーシーシュワルツ使うやつを使うと, だいぶ示しやすくなってそのまま示せました.

解答

$a=0,b=c=1/2$を代入すると
$$ \frac{2}{4+k}+\frac{2}{4+k}\geq\frac{1}{2}$$
よって,$k > 4$の範囲で成立しないことがわかる.
$k=4$のときにこの不等式が成立することを証明する.
コーシーシュワルツの不等式より,
\begin{align*} \Big(a(1+9bc+&4(b-c)^2)+b(1+9ac+4(a-c)^2)+c(1+9ab+4(a-b)^2) \Big) \times \\ &\bigg(\frac{a}{1+9bc+4(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ac+4(a-c)^2}+\frac{c}{1+9ab+4(a-b)^2}\bigg)\geq (a+b+c)^2 \end{align*}
となる. $a+b+c=1$であり,
\begin{align*} &f(a,b,c)=\frac{a}{1+9bc+4(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ac+4(a-c)^2}+\frac{c}{1+9ab+4(a-b)^2}\\ &g(a,b,c)=a(1+9bc+4(b-c)^2)+b(1+9ac+4(a-c)^2)+c(1+9ab+4(a-b)^2) \end{align*}
とおくと上記の不等式は以下のように書き換えられる.
$$f(a,b,c)\geq \frac{1}{g(a,b,c)}$$
したがって, $2 \geq g(a,b,c)$ を示せれば, $k=4$のときに成立することが確かめられる.
\begin{align*} g(a,b,c)&=a(1+9bc+4(b-c)^2)+b(1+9ac+4(a-c)^2)+c(1+9ab+4(a-b)^2)\\ &=a(1+bc+4b^2+4c^2)+b(1+ac+4a^2+4c^2)+c(1+ab+4a^+4b^2)\\ &=a+b+c+3abc+4(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b))\\ &=1+3abc+4(a^2+b^2+c^2-(a^3+b^3+c^3-3abc+3abc))\\ &=1+3abc+4(a^2+b^2+c^2-((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc))\\ &=1+3abc+4(ab+ac+bc-3abc)\\ &=1-9abc+4(ab+ac+bc) \end{align*}
となることから, 条件は以下のようにかける.
$$2 \geq g(a,b,c) \Leftrightarrow 9^3abc-4\cdot 9^2(ab+ac+bc)+81 \geq 0$$
このとき, 左辺を変形すると
\begin{align*} &9^3abc-4\cdot 9^2(ab+ac+bc)+81\\ =&(9a-4)(9b-4)(9c-4)-16\cdot 9(a+b+c)+64+81\\ =&(9a-4)(9b-4)(9c-4)+1\\ \end{align*}
のように表せる.
したかって, 示すべき不等式は以下のように書き換えられる.
$$1 \geq (4-9a)(4-9b)(4-9c)$$

1. $4-9a>0,4-9b>0,4-9c>0$ のとき
   $4-9a>0,4-9b>0,4-9c>0$から,AM-GM不等式より
   $$3=(4-9a)+(4-9b)+(4-9c)\geq 3\sqrt[3]{(4-9a)(4-9b)(4-9c)}$$
   が成立するので,
   $$1 \geq (4-9a)(4-9b)(4-9c)$$
   が示せた.
2. $4-9a<0,4-9b<0,4-9c>0$ のとき
   $9a-4>0,9b-4>0$から,AM-GM不等式より
   $$1-9c=(9a-4)+(9b-4)\geq 2\sqrt{(4-9a)(4-9b)} $$
   が成立するので,
   $$(4-9a)(4-9b)(4-9c) \leq \frac{1}{4}(1-9c)^2(4-9c) \ ,\ \frac{1}{9}\geq c \geq 0$$
   $\frac{1}{9}\geq c \geq 0$ より, $1 \geq(1-9c)^2$,$4 \geq4-9c$が成立するので,
   $$(4-9a)(4-9b)(4-9c) \leq1$$
   が成立する.

よって$k=4$のときにこの不等式は成立する.
したがって, $k=4$が最大値をとる.