ロピタルの定理(極限で分母と分子が0になる定理)

ロピタルの定理(l'H$\hat{\rm o}$pital's rule)とは，2つの関数$f(x),g(x)$が$x=a$の周りで連続で$C^\infty$級(無限階微分可能)で，$\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)= \lim_{x\to a}g(x)=0}$を満たし，$\displaystyle{\lim_{x\to a}g'(x)\ne0}$で$\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}}$が一意に存在するとき，
\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}&=& \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}
を満たす．証明として，$C^\infty$級の関数$f(x),g(x)$を2次までのテーラー級数展開(Taylor series extension)をすると，
\begin{eqnarray} f(x)&=& f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2}f''(c_f) \\ g(x)&=& g(a)+(x-a)g'(a)+\frac{(x-a)^2}{2}g''(c_g) \end{eqnarray}
となる．ただし$c_f,c_g\in(a,x)$とする．これより，$\frac{f(x)}{g(x)}$は，
\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} &=&\frac{f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2}f''(c_f)} {g(a)+(x-a)g'(a)+\frac{(x-a)^2}{2}g''(c_g)} =\frac{(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2}f''(c_f)} {(x-a)g'(a)+\frac{(x-a)^2}{2}g''(c_g)}\nonumber \\ &=&\frac{(x-a)\left(f'(a)+\frac{(x-a)}{2}f''(c_f)\right)} {(x-a)\left(g'(a)+\frac{(x-a)}{2}g''(c_g)\right)}= \frac{f'(a)+\frac{(x-a)}{2}f''(c_f)} {g'(a)+\frac{(x-a)}{2}g''(c_g)} \end{eqnarray}
と計算することができる．ただしここでは$\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)= \lim_{x\to a}g(x)=0 }$を用いた．これより，
\begin{eqnarray} \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} &=& \lim_{x\to a}\frac{f'(a)+\frac{(x-a)}{2}f''(c_f)} {g'(a)+\frac{(x-a)}{2}g''(c_g)} = \frac{f'(a)+0}{g'(a)+0}= \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}
が得られ，ロピタルの定理が示された．ちなみに$\displaystyle{\lim_{x\to a}f'(x)=\lim_{x\to a}g'(x)=0}$の場合は，ロピタルの定理は
\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \lim_{x\to a}\frac{f''(x)}{g''(x)} \end{eqnarray}
のように入れ子の形となることに注意する．

練習

離散一様分布のキュムラント母関数(cumulant generating function)

\begin{eqnarray} \psi(t)=\log\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ne^{it}\right) \end{eqnarray}

に対して，$E[X]=\displaystyle{\lim_{t\to0}\frac{\partial\psi(t)}{\partial t}}$と$V[X]=\displaystyle{\lim_{t\to0}\frac{\partial^2\psi(t)}{\partial t^2}}$の関係から，平均$E[X]$と分散$V[X]$を求めよ．答えはコメントに書いて！

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