ロピタルの定理(極限で分母と分子が0になる定理)

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ロピタルの定理(l'H $\hat{o}$ pital's rule)とは，2つの関数 $f (x), g (x)$ が $x = a$ の周りで連続で $C^{\infty}$ 級(無限階微分可能)で， $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ を満たし， $lim_{x \to a} g^{'} (x) \neq 0$ で $lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ が一意に存在するとき，
$\begin{array}{rcl} lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} & = & lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} \end{array}$
を満たす．証明として， $C^{\infty}$ 級の関数 $f (x), g (x)$ を2次までのテーラー級数展開(Taylor series extension)をすると，
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & f (a) + (x - a) f^{'} (a) + \frac{(x - a)^{2}}{2} f^{″} (c_{f}) \\ g (x) & = & g (a) + (x - a) g^{'} (a) + \frac{(x - a)^{2}}{2} g^{″} (c_{g}) \end{array}$
となる．ただし $c_{f}, c_{g} \in (a, x)$ とする．これより， $\frac{f (x)}{g (x)}$ は，
$\begin{array}{rcl} \frac{f (x)}{g (x)} & = & \frac{f (a) + (x - a) f^{'} (a) + \frac{(x - a)^{2}}{2} f^{″} (c_{f})}{g (a) + (x - a) g^{'} (a) + \frac{(x - a)^{2}}{2} g^{″} (c_{g})} = \frac{(x - a) f^{'} (a) + \frac{(x - a)^{2}}{2} f^{″} (c_{f})}{(x - a) g^{'} (a) + \frac{(x - a)^{2}}{2} g^{″} (c_{g})} \\ = & \frac{(x - a) (f^{'} (a) + \frac{(x - a)}{2} f^{″} (c_{f}))}{(x - a) (g^{'} (a) + \frac{(x - a)}{2} g^{″} (c_{g}))} = \frac{f^{'} (a) + \frac{(x - a)}{2} f^{″} (c_{f})}{g^{'} (a) + \frac{(x - a)}{2} g^{″} (c_{g})} \end{array}$
と計算することができる．ただしここでは $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ を用いた．これより，
$\begin{array}{rcl} lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} & = & lim_{x \to a} \frac{f^{'} (a) + \frac{(x - a)}{2} f^{″} (c_{f})}{g^{'} (a) + \frac{(x - a)}{2} g^{″} (c_{g})} = \frac{f^{'} (a) + 0}{g^{'} (a) + 0} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} \end{array}$
が得られ，ロピタルの定理が示された．ちなみに $lim_{x \to a} f^{'} (x) = lim_{x \to a} g^{'} (x) = 0$ の場合は，ロピタルの定理は
$\begin{array}{rcl} lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} & = & lim_{x \to a} \frac{f^{″} (x)}{g^{″} (x)} \end{array}$
のように入れ子の形となることに注意する．

練習

離散一様分布のキュムラント母関数(cumulant generating function)

$\begin{array}{r} ψ (t) = \log (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} e^{i t}) \end{array}$

に対して， $E [X] = lim_{t \to 0} \frac{\partial ψ (t)}{\partial t}$ と $V [X] = lim_{t \to 0} \frac{\partial^{2} ψ (t)}{\partial t^{2}}$ の関係から，平均 $E [X]$ と分散 $V [X]$ を求めよ．答えはコメントに書いて！