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高校数学問題
図形問題
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図1において，四角形$ABCD$,$ECFG$は正方形で，四角形$BHIG$は長方形です．
また，点$A,D,I$は一直線上，点$H,C,I$も一直線上にあります．
$EI = 2$のとき，線分$AG$の長さを求めてください．
高校生の頃作った図形問題です．もっと簡単な解法が思い付いたら是非教えてください．
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まず，正方形$ECFG$の外接円を描きます．
$\angle GIC = 90^{\circ}$より，この外接円は，四角形$ECIG$の外接円にもなります．
ここで，$EG = CE = L$, $GI = a$, $CI = b$とおくと，
$EI = 2$, $CG = \sqrt{2} L$より，トレミーの定理から，
$EC \cdot GI + EG\cdot CI = EI \cdot CG \Leftrightarrow La + Lb = 2\sqrt{2}L \Leftrightarrow a + b = 2\sqrt{2},$となります．
ここで，$C,G,I$を頂点に持つ長方形を考えると，面積は$ab$になります．
これを$B,C,I$を頂点に持つ平行四辺形に平行移動します．
さらに，正方形$ABCD$に平行移動させると，平行移動を繰り返しただけなので，面積は変わらず$ab$となります．
したがって正方形$ABCD$の一辺の長さは$\sqrt{ab}$から，対角線の長さは$\sqrt{2ab}$となります．さらに$CG$の長さは三平方の定理から$\sqrt{a^2+b^2}$で，$\angle ACG = 90^{\circ}$なので，
三平方の定理から，
$AG^2 = AC^2 + CG^2 = 2ab + a^2 + b^2 = (a+b)^2 $より，
$AG = a + b = 2\sqrt{2}$となります．
投稿日：2023年10月4日
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