図形問題

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図1において，四角形 $A B C D$ , $E C F G$ は正方形で，四角形 $B H I G$ は長方形です．
また，点 $A, D, I$ は一直線上，点 $H, C, I$ も一直線上にあります．
$E I = 2$ のとき，線分 $A G$ の長さを求めてください．

高校生の頃作った図形問題です．もっと簡単な解法が思い付いたら是非教えてください．

解答を表示

まず，正方形

E C F G

の外接円を描きます．

∠ G I C = 90^{\circ}

より，この外接円は，四角形

E C I G

の外接円にもなります．
ここで，

E G = C E = L

G I = a

C I = b

とおくと，

E I = 2

C G = \sqrt{2} L

より，トレミーの定理から，

E C \cdot G I + E G \cdot C I = E I \cdot C G \Leftrightarrow L a + L b = 2 \sqrt{2} L \Leftrightarrow a + b = 2 \sqrt{2},

となります．

ここで，

C, G, I

を頂点に持つ長方形を考えると，面積は

a b

になります．

これを

B, C, I

を頂点に持つ平行四辺形に平行移動します．

さらに，正方形

A B C D

に平行移動させると，平行移動を繰り返しただけなので，面積は変わらず

a b

となります．

したがって正方形

A B C D

の一辺の長さは

\sqrt{a b}

から，対角線の長さは

\sqrt{2 a b}

となります．さらに

C G

の長さは三平方の定理から

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

で，

∠ A C G = 90^{\circ}

なので，

三平方の定理から，

A G^{2} = A C^{2} + C G^{2} = 2 a b + a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2}

より，

A G = a + b = 2 \sqrt{2}

となります．

投稿日：2023年10月4日

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