11月の東進数学コン (2024整数)

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東進数学コン
いろいろ修正しました
間違ってたらすみません
(方針)素数を $2$ から小さい順に並べた数列を ${p_{n}}$ とします
十分大きい $n$ に対して
$v_{p} (n - k + 1) - v_{p} (k) \geq 2024$ を満たすような正の整数 $k$ と素数 $p$ が存在すれば,
$v_{p} (_{n} C_{k}) \geq 2024$ となり十分
(下手に $k u m m e r$ 定理使うと例外の対応がぐちゃぐちゃになる)で
$k$ と $n - k + 1$ が同時にに $p$ の倍数にならないような場合は $n$ を大きくすれば $v_{p} (n - k + 1) \geq 2024$ を持ってこれば解決できる $(n \geq p^{2024})$
$p | k ⟺ p | n - k + 1$ となるのは $n \equiv - 1 (m o d p)$ のときである…(★)
小さな素数 $p$ に対して $n ≢ - 1 (m o d p)$ の場合は大きい $N$ を指定すれば解決できて
最終的には

$p_{j} > M$ を満たす任意の $p_{j}$ に対して $n \equiv - 1 (m o d p_{i}) (i = 1, 2, \dots, j - 1)$ かつ $n ≢ - 1 (m o d p_{j})$ を満たすとき $p_{j}^{2024} \leq n$ が成り立つような正の整数 $M$ が存在する

この命題を示せばいい

(解)素数を $2$ から小さい順に並べた数列 ${p_{n}}$ とする
$k = 0, 1, \dots, n$ について $_{n} C_{k}$ は正の整数より
$v_{p} (n - k + 1) - v_{p} (k) \geq 2024$ を満たすような正の整数 $k (0 \leq k \leq n)$ と素数 $p$ が存在すれば, $v_{p} (_{n} C_{k}) ≧ 2024$ となる
ここで先に命題 $1$ を満たす正の整数 $M$ を考える

ベルトラン仮説

$2$ 以上の任意の正の整数 $n$ に対して $n < p < 2 n$ を満たす素数 $p$ が存在する

(証明略)
このことから $1$ 以上 $n - 1$ 以下の整数 $i$ に対して $p_{n} < 2^{i} p_{n - i}$ …①
また, $n \equiv - 1 (m o d p_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, j - 1)$ を満たす
最小の正の整数は $\prod_{i = 1}^{j - 1} p_{i} - 1$ より
$n \geq \prod_{i = 1}^{j - 1} p_{i} - 1$
よって
$\prod_{i = 1}^{j - 1} p_{i} - 1 \geq p_{j}^{2024}$
が成り立つような $j$ を考える
ここで①より $n ＞ 10^{5}$ とします(多めにとる)
$p_{j + 1}^{2024} < \prod_{i = 1}^{2024} 2^{i} p_{j - i} = 2^{2029300} \prod_{i = 1}^{2024} p_{j - 2025 + i}$
よって $2^{2029300} < \prod_{i = 1}^{j - 2025} p_{i}$ を満たす $p_{j}$ が存在すれば
$\prod_{i = 1}^{j - 1} p_{i} - 1 \geq p_{j}^{2024}$ が成り立つ
また $p_{n}$ 正の狭義増加数列かつ, $p_{n} \to \infty (n \to \infty)$ より
命題 $1$ が成り立つような正の整数 $M$ が存在する
よってこのとき $n - k + 1 = p_{j}^{2024}$ とすることで $_{n} C_{k}$ は $2024$ 乗数因子を持つ
また $M$ 以下の $p_{i}$ のいずれかが $n ≢ - 1 (m o d p_{i})$ のとき
$M$ 以下の最大の素数を $p_{U}$ とし $N \geq p_{U}^{2024}$ とすれば
$n + k - 1 = p_{i}^{2024}$ とすることで条件を満たす
また $U + 1$ 以上の整数 $j$ について
$n \equiv - 1 (m o d p_{i}) (i = 1, 2, \dots, j - 1)$ かつ $n ≢ - 1 (m o d p_{j})$ のとき
命題 $1$ から条件を満たすような正の整数 $k$ が存在し
以上より $N = p_{U}^{2024}$ とすれば