11月の東進数学コン (2024整数)

東進数学コン
いろいろ修正しました
間違ってたらすみません
(方針)素数を$2$から小さい順に並べた数列を$ \lbrace p_n \rbrace $とします
十分大きい$n$に対して
$v_p(n-k+1)-v_p(k) \geq 2024$を満たすような正の整数$k$と素数$p$が存在すれば,
$v_p({}_n \mathrm{ C }_k) \geq 2024$となり十分
(下手に$kummer$定理使うと例外の対応がぐちゃぐちゃになる)で
$k$と$n-k+1$が同時にに$p$の倍数にならないような場合は$n$を大きくすれば$v_p(n-k+1) \geq 2024$を持ってこれば解決できる$(n \geq p^{2024})$
$p \vert k \Longleftrightarrow p \vert {n-k+1} $となるのは$n≡-1(modp)$のときである…(★)
小さな素数$p$に対して$n\not\equiv-1(modp)$の場合は大きい$N$を指定すれば解決できて
最終的には

この命題を示せばいい

(解)素数を$2$から小さい順に並べた数列$ \lbrace p_n \rbrace $とする
$k=0,1,…,n$について${}_n \mathrm{C}_k$は正の整数より
$v_p(n-k+1)-v_p(k) \geq 2024$を満たすような正の整数$k(0 \leq k \leq n)$と素数$p$が存在すれば,$v_p({}_n \mathrm{C}_k)≧2024$となる
ここで先に命題$1$を満たす正の整数$M$を考える

(証明略)
このことから$1$以上$n-1$以下の整数$i$に対して$p_{n} \lt 2^i p_{n-i}$…①
また,$n≡-1(modp_i)$$(i=1,2,…,j-1)$を満たす
最小の正の整数は$\prod_{i=1}^{j-1}p_i-1$より
$n \geq\prod_{i=1}^{j-1}p_i-1 $
よって
$ \prod_{i=1}^{j-1}p_i-1 \geq p_j^{2024}$
が成り立つような$j$を考える
ここで①より$n＞10^{5}$とします(多めにとる)
$p_{j+1}^{2024} \lt \prod_{i=1}^{2024} 2^ip_{j-i}=2^{2029300}\prod_{i=1}^{2024}p_{j-2025+i} $
よって$2^{2029300} \lt \prod_{i=1}^{j-2025}p_i $を満たす$p_j$が存在すれば
$ \prod_{i=1}^{j-1}p_i-1 \geq p_j^{2024}$が成り立つ
また$p_n$正の狭義増加数列かつ,$p_n→∞(n→∞)$より
命題$1$が成り立つような正の整数$M$が存在する
よってこのとき$n-k+1=p_j^{2024}$とすることで${}_n \mathrm{ C }_k$は$2024$乗数因子を持つ
また$M$以下の$p_i$のいずれかが$n\not\equiv-1(modp_i)$のとき
$M$以下の最大の素数を$p_U$とし$N \geq p_U^{2024}$とすれば
$n+k-1=p_i^{2024}$とすることで条件を満たす
また$U+1$以上の整数$j$について
$n≡-1(modp_i)(i=1,2,…,j-1)$かつ$n\not\equiv-1(modp_j)$のとき
命題$1$から条件を満たすような正の整数$k$が存在し
以上より$N=p_U^{2024}$とすれば

$n \gt N$である任意の正の整数$n$に対し,${}_n \mathrm{C}_k$がある2以上の整数の$2024$乗となりる数を約数にもつような$k(1 \leq k \leq n-1 )$が存在する