高校数学問題

数学会用問題ズ

Part1　数列

難易度説明
★1～2教科書とかくらい
★3　少し難しめ青茶の3,4相当
★4　それ以上のやつら。基本的に魔境
たまに★5以上も登場させる予定。数Ⅲ積分とか整数が該当する。

難易度★☆☆☆

次の漸化式を満たす数列 ${a_{n}}$ の一般項を $n$ の式で表せ。
$a_{1} = 1, 6 a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$

難易度★★☆☆

次の漸化式を満たす数列 ${a_{n}}$ を求めよ。
$a_{1} = 4, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 16 n$

難易度★★★☆

ある自然数 $n$ について、数列 ${S_{n}}$ を次のように定める。
$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k}} \sin (\frac{k^{2} π}{4})$
この時、以下の問いに答えよ。
(1) $S_{4}$ を求めよ。
(2) $n$ が奇数であるならば、 $S_{n + 1} = S_{n}$ であることを示せ。
(3) $lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ。
(津田塾大学 2011)