数学会用問題ズ

次の漸化式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を$n$の式で表せ。
$\displaystyle a_1 = 1~~,~~6a_{n+1} = 3a_n+4$

次の漸化式を満たす数列$\{a_n\}$を求めよ。
$\displaystyle a_1 = 4~~,~~a_{n+1} = 3a_n+16n$

ある自然数$n$について、数列$\{S_n\}$を次のように定める。
$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\sin\left(\frac{k^2\pi}{4}\right)$
この時、以下の問いに答えよ。
(1)$S_4$を求めよ。
(2)$n$が奇数であるならば、$S_{n+1}=S_n$であることを示せ。
(3)$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
(津田塾大学 2011)