差分で作る望遠鏡和

あいさつ

んちゃ！
今回はやなさんが今まで勘違いして来た事に対して反省も込めWZ-pairのとっても簡単な構成法をご紹介いたします。

差分の性質簡潔に

差分

多重数列 $f (n_{1}, n_{2}, . . ., n_{N})$ に対して $Δ_{k}$ を下記の様に定める。
$Δ_{k} f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) = f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k} + 1, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) - f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N})$

差分は線形性を持つ。

$\begin{array}{rcl} Δ_{k} & {α f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) + β g (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N})} \\ = & α f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k} + 1, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) + β g (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k} + 1, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) - {α f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) + β g (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N})} \\ = & α {f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k} + 1, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) - f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N})} + β {g (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k} + 1, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) - g (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N})} \\ = & α Δ_{k} f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) + β Δ_{k} g (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) \end{array}$

可換性

$Δ_{k} Δ_{l} f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N}) = Δ_{l} Δ_{k} f (n_{1}, . . ., n_{k - 1}, n_{k}, n_{k + 1}, . . ., n_{N})$

以下長いので $k, l$ 成分のみ下記それ以外は省略する。
また $k = l$ の場合は明らかなので省略する。
$k \neq l$ の場合
$\begin{array}{rcl} Δ_{k} Δ_{l} f (n_{k}, n_{l}) & = & Δ_{k} {f (n_{k}, n_{l} + 1) - f (n_{k}, n_{l})} \\ = & {f (n_{k} + 1, n_{l} + 1) - f (n_{k} + 1, n_{l})} - {f (n_{k}, n_{l} + 1) - f (n_{k}, n_{l})} \\ = & {f (n_{k} + 1, n_{l} + 1) - f (n_{k}, n_{l} + 1)} - {f (n_{k} + 1, n_{l}) - f (n_{k}, n_{l})} \\ = & Δ_{l} {f (n_{k} + 1, n_{l}) - f (n_{k}, n_{l})} \\ = & Δ_{l} Δ_{k} f (n_{k}, n_{l}) \end{array}$

Leibniz則

$Δ_{k} {f (n_{k}) g (n_{k})} = {Δ_{k} f (n_{k})} g (n_{k} + 1) + f (n_{k}) Δ_{k} g (n_{k})$

$\begin{array}{rcl} Δ_{k} {f (n_{k}) g (n_{k})} & = & f (n_{k} + 1) g (n_{k} + 1) - f (n_{k}) g (n_{k}) \\ = & {f (n_{k} + 1) - f (n_{k})} g (n_{k} + 1) + f (n_{k}) {g (n_{k} + 1) - g (n_{k})} \\ = & {Δ_{k} f (n_{k})} g (n_{k} + 1) + f (n_{k}) Δ_{k} g (n_{k}) \end{array}$

WZ-pairは差分の可換性により簡単に構成出来る

WZ-pair

数列 $F (m, n), G (m, n)$ がWZ-pairであるとは下記の性質を持つ場合を言う。
$Δ_{1} F (m, n) = Δ_{2} G (m, n)$

数列 $F (m, n), G (m, n)$ がWZ-pairであるならば下記の式を満たす。
$\sum_{n = 1}^{N} Δ_{1} F (m, n) = G (m, N + 1) - G (m, 1)$

$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 1}^{N} Δ_{1} F (m, n) & = & \sum_{n = 1}^{N} Δ_{2} G (m, n) \\ = & \sum_{n = 1}^{N} {G (m, n + 1) - G (m, n)} \\ = & G (m, N + 1) - G (m, 1) \end{array}$

WZ-pairはめっちゃ簡単に構成出来ます。

WZ-pairの構成法

【First Step】

H (m, n)

を適当に用意
【Second Step】次の様な計算を行う。

\begin{array}{r} {\begin{cases} Δ_{2} H (m, n) = F (m, n) \\ Δ_{1} H (m, n) = G (m, n) \end{cases} \end{array}

すると差分の可換性により、下記の式が成り立つ事が分かり

F, G

がWZ-pairである事が示された。

Δ_{1} F (m, n) = Δ_{2} G (m, n)

$H (m, n) = \frac{1}{(\begin{matrix} m + n \\ m \end{matrix})}$ の様に定めた時WZ-pairを求めよ。

[1]
$\begin{array}{rcl} F (m, n) & = & Δ_{2} H (m, n) \\ = & \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} (\frac{n + 1}{m + n + 1} - 1) \\ = & - \frac{m}{m + n + 1} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} \end{array}$
[2]式の対称性から
$\begin{array}{rcl} G (m, n) & = & Δ_{1} H (m, n) \\ = & - \frac{n}{m + n + 1} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} \end{array}$
[3]Leibniz則を用いて計算
$\begin{array}{rcl} Δ_{1} F (m, n) & = & - (\frac{m + 1}{m + n + 2} - \frac{m}{m + n + 1}) \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n + 1 \\ m + 1 \end{array})} + \frac{m n}{(m + n + 1)^{2}} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} \\ = & - \frac{(m + 1) (n + 1)}{(m + n + 1)^{2} (m + n + 2)} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} + \frac{m n}{(m + n + 1)^{2}} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} \\ = & \frac{m n (m + n + 2) - (m + 1) (n + 1)}{(m + n + 1)^{2} (m + n + 2)} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} \end{array}$
[4]
$\begin{array}{rcl} Δ_{2} G (m, n) & = & - \frac{n + 1}{m + n + 2} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n + 1 \\ m \end{array})} + \frac{n}{m + n + 1} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} \end{array}$
[5]最後に和を計算
$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{N} \frac{m n (m + n + 2) - (m + 1) (n + 1)}{(m + n + 1)^{2} (m + n + 2)} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + n \\ m \end{array})} = - \frac{N + 1}{m + N + 2} \frac{1}{(\begin{array}{c} m + N + 1 \\ m \end{array})} + \frac{1}{(m + 1) (m + 2)} \end{array}$
[6]また右辺第一項は $N \to \infty$ とすると $0$ に収束するので
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{m n (m + n + 2) - (m + 1) (n + 1)}{(m + n + 1)^{2} (m + n + 2)} \frac{1}{(\begin{matrix} m + n \\ m \end{matrix})} = \frac{1}{(m + 1) (m + 2)}$