差分で作る望遠鏡和
あいさつ
んちゃ！
今回はやなさんが今まで勘違いして来た事に対して反省も込めWZ-pairのとっても簡単な構成法をご紹介いたします。
差分の性質簡潔に
多重数列$f(n_{1},n_{2},...,n_{N})$に対して$\Delta_{k}$を下記の様に定める。
\begin{equation}
\Delta_{k}f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})=f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k}+1,n_{k+1},...,n_{N})-f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})
\end{equation}
差分は線形性を持つ。
\begin{eqnarray} &\Delta_{k}&\{\alpha f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})+\beta g(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})\}\\ &=&\alpha f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k}+1,n_{k+1},...,n_{N})+\beta g(n_{1},...,n_{k-1},n_{k}+1,n_{k+1},...,n_{N})-\{\alpha f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})+\beta g(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})\}\\ &=&\alpha\{f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k}+1,n_{k+1},...,n_{N})-f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})\}+\beta\{g(n_{1},...,n_{k-1},n_{k}+1,n_{k+1},...,n_{N})-g(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})\}\\ &=&\alpha\Delta_{k}f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})+\beta\Delta_{k}g(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N}) \end{eqnarray}
$\Delta_{k}\Delta_{l}f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})=\Delta_{l}\Delta_{k}f(n_{1},...,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},...,n_{N})$
以下長いので$k,l$成分のみ下記それ以外は省略する。
また$k=l$の場合は明らかなので省略する。
$k\neq l$の場合
\begin{eqnarray}
\Delta_{k}\Delta_{l}f(n_{k},n_{l})&=&\Delta_{k}\{f(n_{k},n_{l}+1)-f(n_{k},n_{l})\}\\
&=&\{f(n_{k}+1,n_{l}+1)-f(n_{k}+1,n_{l})\}-\{f(n_{k},n_{l}+1)-f(n_{k},n_{l})\}\\
&=&\{f(n_{k}+1,n_{l}+1)-f(n_{k},n_{l}+1)\}-\{f(n_{k}+1,n_{l})-f(n_{k},n_{l})\}\\
&=&\Delta_{l}\{f(n_{k}+1,n_{l})-f(n_{k},n_{l})\}\\
&=&\Delta_{l}\Delta_{k}f(n_{k},n_{l})
\end{eqnarray}
\begin{equation} \Delta_{k}\{f(n_{k})g(n_{k})\}=\{\Delta_{k}f(n_{k})\}g(n_{k}+1)+f(n_{k})\Delta_{k}g(n_{k}) \end{equation}
\begin{eqnarray} \Delta_{k}\{f(n_{k})g(n_{k})\}&=&f(n_{k}+1)g(n_{k}+1)-f(n_{k})g(n_{k})\\ &=&\{f(n_{k}+1)-f(n_{k})\}g(n_{k}+1)+f(n_{k})\{g(n_{k}+1)-g(n_{k})\}\\ &=&\{\Delta_{k}f(n_{k})\}g(n_{k}+1)+f(n_{k})\Delta_{k}g(n_{k}) \end{eqnarray}
WZ-pairは差分の可換性により簡単に構成出来る
数列$F(m,n),G(m,n)$がWZ-pairであるとは下記の性質を持つ場合を言う。
\begin{equation}
\Delta_{1}F(m,n)=\Delta_{2}G(m,n)
\end{equation}
数列$F(m,n),G(m,n)$がWZ-pairであるならば下記の式を満たす。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{N}\Delta_{1}F(m,n)=G(m,N+1)-G(m,1)
\end{equation}
\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{N}\Delta_{1}F(m,n)&=&\sum_{n=1}^{N}\Delta_{2}G(m,n)\\ &=&\sum_{n=1}^{N}\{G(m,n+1)-G(m,n)\}\\ &=&G(m,N+1)-G(m,1) \end{eqnarray}
WZ-pairはめっちゃ簡単に構成出来ます。
【Second Step】次の様な計算を行う。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \Delta_{2}H(m,n)=F(m,n)\\ \Delta_{1}H(m,n)=G(m,n) \end{array} \right. \end{eqnarray}
すると差分の可換性により、下記の式が成り立つ事が分かり$F,G$がWZ-pairである事が示された。
\begin{equation} \Delta_{1}F(m,n)=\Delta_{2}G(m,n) \end{equation}
$H(m,n)=\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}$の様に定めた時WZ-pairを求めよ。
[1]
\begin{eqnarray}
F(m,n)&=&\Delta_{2}H(m,n)\\
&=&\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}(\frac{n+1}{m+n+1}-1)\\
&=&-\frac{m}{m+n+1}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}
\end{eqnarray}
[2]式の対称性から
\begin{eqnarray}
G(m,n)&=&\Delta_{1}H(m,n)\\
&=&-\frac{n}{m+n+1}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}
\end{eqnarray}
[3]Leibniz則を用いて計算
\begin{eqnarray}
\Delta_{1}F(m,n)&=&-(\frac{m+1}{m+n+2}-\frac{m}{m+n+1})\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n+1\\m+1\end{pmatrix}}+\frac{mn}{(m+n+1)^{2}}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}\\
&=&-\frac{(m+1)(n+1)}{(m+n+1)^{2}(m+n+2)}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}+\frac{mn}{(m+n+1)^{2}}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}\\
&=&\frac{mn(m+n+2)-(m+1)(n+1)}{(m+n+1)^{2}(m+n+2)}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}
\end{eqnarray}
[4]
\begin{eqnarray}
\Delta_{2}G(m,n)&=&-\frac{n+1}{m+n+2}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n+1\\m\end{pmatrix}}+\frac{n}{m+n+1}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}
\end{eqnarray}
[5]最後に和を計算
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{N}\frac{mn(m+n+2)-(m+1)(n+1)}{(m+n+1)^{2}(m+n+2)}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}=-\frac{N+1}{m+N+2}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+N+1\\m\end{pmatrix}}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}
\end{eqnarray}
[6]また右辺第一項は$N\rightarrow\infty$とすると$0$に収束するので
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{mn(m+n+2)-(m+1)(n+1)}{(m+n+1)^{2}(m+n+2)}\frac{1}{\begin{pmatrix}m+n\\m\end{pmatrix}}=\frac{1}{(m+1)(m+2)}
\end{equation}
最後に
今回はなるべく短くWZ-pairの構成法についてまとめました。
ここまで読んでくれてありがとうございます。ばいちゃ
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