最高傑作のご紹介

今回は、オリジナル問題の中から傑作を公開しようと思います。

問題

解答

まず，$2$次以上の$P(x)$が$0< x<1$で常に$P(x)\leqq 0$または常に$P(x)\geqq 0$であることはあり得ない。なぜなら，もしそれが成り立つなら，

　　　$\displaystyle\int_{0}^{1} x^k P(x) dx \neq0$

となるからである。以下，背理法で考える。$1\leqq m< n$の整数$m$に対し，$P(x)$が$0< x<1$で$m$個の符号変化点$x_{1},\,x_{2},\,\ldots,\,x_{m}$を持つと仮定する。ここで，$m$次の多項式

　　$ Q(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots(x-x_{m})$

を考える。このとき，$0< x<1$で常に$P(x)Q(x)\leqq 0$または常に$P(x)Q(x)\geqq 0$である。ここで，$P(x)Q(x)$は恒等的に$0$になることはないので，

　　　$ \displaystyle\int_{0}^{1} P(x)Q(x) dx \neq0$

一方で，$Q(x)$は$m(< n)$次の多項式なので，$Q(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{m} q_{k}x^k$とおくと，題意より，

\begin{align} 　　　　\int_{0}^{1} P(x)Q(x)dx &=\int_{0}^{1} P(x)\left(\sum_{k=0}^{m} q_{k}x^k\right) dx\\ \\ &=\sum_{k=0}^{m} q_{k} \left(\int_{0}^{1} x^kP(x)\right) dx=0 \end{align}

となり，$\displaystyle\int_{0}^{1} P(x)Q(x)dx \neq0$に矛盾する。したがって，仮定は誤りで，$P(x)$は$0< x<1$で$n$回符号変化するので，題意は示された。

最後に

最後まで読んでいただきありがとうございました！