本記事の前提知識
これは受験数学でも頻繁に使う性質なので,覚えておいてほしい.
証明
である.
左辺を展開した後に係数を比較せよ.
OMCの例題
OMC037(A)
OMCB024(B)
次式の解と係数の関係
まずは一つだけ次数を上げて,次式のバージョンである.
証明は次式の場合を参考に,各自でしてほしい.
のつの解をとするとき,次の値を求めよ.
(1)
(2)
(解)解と係数の関係よりである.
を使えば
練習問題を用意しておく.(3)には美しい解法があるので,ぜひ考えてみてほしい.
練習問題
のつの解をとするとき,次の値を求めよ.
(1)
(2)
(3)
略解
(1) 例1と同様.
(2) 通分せよ.
(3) 展開しても解けるが,このような方針もある.
よりである.
ここでであることを用いれば,
OMCの例題
OMCB030(D)
OMCB033(E)
練習問題(OMC109(E)改)
方程式の虚数解の和をとするとき,を解に持つような次式を一つ作れ.
略解
方程式の実数解はただ一つである(微分すればわかる).この解をとすると,解と係数の関係からである.
はの解なのでを満たす.ここにを代入すれば,方程式を得る.
もとの問題
練習問題を解いたあとに解くことはあまりオススメしないが,載せておく.
OMC109(E)
次式の解と係数の関係
解と係数の関係(次式)
の解をとするとき,次の基本対称式
ただし,次の基本対称式とは,の相異なる個の積(通り存在する)の総和である.
以下は確認問題である.
(1) 次式の場合の解と係数の関係を,上のように省略せずに書け.
(2) 次式において,以下の値を,を用いて表せ.
確認問題の答え
(1) 書くのが面倒なので,他のサイトを参照してほしい.例として
Wikipedia
.
(2)
OMCの既出問題などを参考に練習問題を用意したかったが,作れなかった.
気が向いたら作る可能性もあるが…どうだろうか.
OMCの例題
OMC197(H)
OMC129(E)