OMC対策（A分野：解と係数の関係）
本記事の前提知識
$ax^2+bx+c=0$の解を$\alpha, \beta$とするとき，$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
これは受験数学でも頻繁に使う性質なので，覚えておいてほしい．
証明
$a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2+bx+c$である．
左辺を展開した後に係数を比較せよ．
$3$次式の解と係数の関係
まずは一つだけ次数を上げて，$3$次式のバージョンである．
$ax^3+bx^2+cx+d=0$の解を$\alpha, \beta,\gamma$とするとき
$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}, \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a},\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$
証明は$2$次式の場合を参考に，各自でしてほしい．
$x^3-2x+1=0$の$3$つの解を$\alpha,\beta,\gamma$とするとき，次の値を求めよ．
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
(2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$
（解）解と係数の関係より$\alpha+\beta+\gamma=0, \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-2,\alpha\beta\gamma=-1$である．
$\begin{aligned}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\
&=4
\end{aligned}$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$を使えば$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-3$
練習問題を用意しておく．(3)には美しい解法があるので，ぜひ考えてみてほしい．
$x^3-3x^2-6x-1=0$の$3$つの解を$\alpha,\beta,\gamma$とするとき，次の値を求めよ．
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
(2) $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$
(3) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$
略解
(1) 例1と同様．
(2) 通分せよ．
(3) 展開しても解けるが，このような方針もある．
$ \alpha+\beta+\gamma=3$より$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=(3-\gamma)(3-\alpha)(3-\beta)$である．
ここで$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-3x^2-6x-1$であることを用いれば，$(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)=3^3-3 \cdot 3^2-6 \cdot 3-1=-19$
方程式$x^3+3x^2-9x+6=0$の虚数解の和を$S$とするとき，$S$を解に持つような$3$次式を一つ作れ．
略解
方程式$x^3+3x^2-9x+6=0$の実数解はただ一つである（微分すればわかる）．この解を$k$とすると，解と係数の関係から$k+S=-3$である．
$k$は$x^3+3x^2-9x+6=0$の解なので$k^3+3k^2-9k+6=0$を満たす．ここに$k=-S-3$を代入すれば，方程式$S^3+6S^2-33=0$を得る．
$n$次式の解と係数の関係
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0$の解を$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$とするとき，$k$次の基本対称式$s_k=(-1)^k\dfrac{a_{n-k}}{a_n}$
ただし，$k$次の基本対称式とは，$\alpha_1, \cdots, \alpha_n$の相異なる$k$個の積（$_n\mathrm{C}_k$通り存在する）の総和である．
以下は確認問題である．
(1) $4$次式の場合の解と係数の関係を，上のように省略せずに書け．
(2) $n$次式において，以下の値を，$a_0, \cdots, a_n$を用いて表せ．
$\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k, \prod\limits_{k=1}^{n}\alpha_k, \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k{}^2, \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\alpha_k}$
確認問題の答え
(1) 書くのが面倒なので，他のサイトを参照してほしい．例として Wikipedia ．
(2) $\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}, \prod\limits_{k=1}^{n}\alpha_k=(-1)^n\dfrac{a_{0}}{a_n}$
$\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k{}^2=\left(\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\right)^2-2\dfrac{a_{n-2}}{a_n}$
$\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\alpha_k}=\dfrac{s_{n-1}}{s_n}=-\dfrac{a_1}{a_0}$
OMCの既出問題などを参考に練習問題を用意したかったが，作れなかった．
気が向いたら作る可能性もあるが…どうだろうか．
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