OMC対策（A分野：解と係数の関係）

本記事の前提知識

解と係数の関係（

2

次式）

　 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解を $α, β$ とするとき， $α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

　これは受験数学でも頻繁に使う性質なので，覚えておいてほしい．

証明

a (x - α) (x - β) = a x^{2} + b x + c

である．
左辺を展開した後に係数を比較せよ．

OMCの例題

OMC037(A)
OMCB024(B)

$3$ 次式の解と係数の関係

　まずは一つだけ次数を上げて， $3$ 次式のバージョンである．

解と係数の関係（

3

次式）

　 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の解を $α, β, γ$ とするとき
$α + β + γ = - \frac{b}{a}, α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}, α β γ = - \frac{d}{a}$

　証明は $2$ 次式の場合を参考に，各自でしてほしい．

　 $x^{3} - 2 x + 1 = 0$ の $3$ つの解を $α, β, γ$ とするとき，次の値を求めよ．
(1)　 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$
(2)　 $α^{3} + β^{3} + γ^{3}$

（解）解と係数の関係より $α + β + γ = 0, α β + β γ + γ α = - 2, α β γ = - 1$ である．
$\begin{aligned} α^{2} + β^{2} + γ^{2} & = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) \\ = 4 \end{aligned}$
$α^{3} + β^{3} + γ^{3} - 3 α β γ = (α + β + γ) (α^{2} + β^{2} + γ^{2} - α β - β γ - γ α)$ を使えば $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = - 3$

　練習問題を用意しておく．(3)には美しい解法があるので，ぜひ考えてみてほしい．

練習問題

　 $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ の $3$ つの解を $α, β, γ$ とするとき，次の値を求めよ．
(1)　 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$
(2)　 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$
(3)　 $(α + β) (β + γ) (γ + α)$

略解

(1)　例1と同様．
(2)　通分せよ．
(3)　展開しても解けるが，このような方針もある．

α + β + γ = 3

より

(α + β) (β + γ) (γ + α) = (3 - γ) (3 - α) (3 - β)

である．
ここで

(x - α) (x - β) (x - γ) = x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 1

であることを用いれば，

(3 - α) (3 - β) (3 - γ) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 = - 19

OMCの例題

OMCB030(D)
OMCB033(E)

練習問題（OMC109(E)改）

　方程式 $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 6 = 0$ の虚数解の和を $S$ とするとき， $S$ を解に持つような $3$ 次式を一つ作れ．

略解

　方程式

x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 6 = 0

の実数解はただ一つである（微分すればわかる）．この解を

k

とすると，解と係数の関係から

k + S = - 3

である．
　

k

は

x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 6 = 0

の解なので

k^{3} + 3 k^{2} - 9 k + 6 = 0

を満たす．ここに

k = - S - 3

を代入すれば，方程式

S^{3} + 6 S^{2} - 33 = 0

を得る．

もとの問題

　練習問題を解いたあとに解くことはあまりオススメしないが，載せておく．
OMC109(E)

$n$ 次式の解と係数の関係

解と係数の関係（

n

次式）

　 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ の解を $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ とするとき， $k$ 次の基本対称式 $s_{k} = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}$
　ただし， $k$ 次の基本対称式とは， $α_{1}, \dots, α_{n}$ の相異なる $k$ 個の積（ $_{n} C_{k}$ 通り存在する）の総和である．

　以下は確認問題である．
(1)　 $4$ 次式の場合の解と係数の関係を，上のように省略せずに書け．
(2)　 $n$ 次式において，以下の値を， $a_{0}, \dots, a_{n}$ を用いて表せ．
　 $\sum_{k = 1}^{n} α_{k}, \prod_{k = 1}^{n} α_{k}, \sum_{k = 1}^{n} α_{k}^{2}, \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{α_{k}}$