Kajiharaの変換公式

前の記事 の記法を用いる.
\begin{align} \Delta(z_1,\dots,z_n):=\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_j-z_k) \end{align}
とする. 前の記事 の系1は以下のような変換公式である.

今回はこの変換公式を特殊化することにより, Kajiharaによって得られた様々な変換公式を導出したいと思う. これらの導出は, 主にKajiharaによる2018年の論文に基づいている.

多重Baileyの変換公式

まず, 定理1において$m,n$を$m+1,n+1$に置き換えると, 左辺は
\begin{align} &\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_{n+1}\\y_1+\cdots+y_{n+1}=N}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_{n+1}q^{y_{n+1}})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n+1})}\prod_{k=1}^{n+1}\frac{(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_{m+1}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n+1};q)_{y_k}}\\ &=\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n},z_{n+1}q^{N-y_1-\cdots-y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n+1})}\prod_{k=1}^{n}\frac{(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_{m+1}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a_1z_{n+1},\dots,a_{m+n+2}z_{n+1};q)_{N-y_1-\cdots-y_n}}{(w_1z_{n+1},\dots,w_{m+1}z_{n+1},z_{n+1}q/z_1,\dots,z_{n+1}q/z_n,q;q)_{N-y_1-\cdots-y_n}}\\ &=\frac{(a_1z_{n+1},\dots,a_{m+n+2}z_{n+1};q)_{N}}{(w_1z_{n+1},\dots,w_{m+1}z_{n+1},z_{n+1}q/z_1,\dots,z_{n+1}q/z_n,q;q)_{N}}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}\\ &\qquad\cdot\left(\prod_{j=1}^n\frac{z_jq^{y_j}-z_{n+1}q^{N-y_1-\cdots-y_n}}{z_j-z_{n+1}}\right)\prod_{k=1}^{n}\frac{(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_{m+1}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{1-N}/w_1z_{n+1},\dots,q^{1-N}/w_{m+1}z_{n+1},z_1q^{-N}/z_{n+1},\dots,z_nq^{-N}/z_{n+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_n}}{(q^{1-N}/a_1z_{n+1},\dots,q^{1-N}/a_{m+n+2}z_{n+1};q)_{y_1+\cdots+y_n}}q^{(n+1)(y_1+\cdots+y_n)}\\ &=\frac{(a_1z_{n+1},\dots,a_{m+n+2}z_{n+1};q)_{N}}{(w_1z_{n+1},\dots,w_{m+1}z_{n+1},z_{n+1}q/z_1,\dots,z_{n+1}q/z_n,q;q)_{N}}q^{nN}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-z_kq^{(y_1+\cdots+y_n)+y_k-N}/z_{n+1})(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(1-z_k/z_{n+1})(w_1z_k,\dots,w_{m+1}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{1-N}/w_1z_{n+1},\dots,q^{1-N}/w_{m+1}z_{n+1},z_1q^{-N}/z_{n+1},\dots,z_nq^{-N}/z_{n+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_n}}{(q^{1-N}/a_1z_{n+1},\dots,q^{1-N}/a_{m+n+2}z_{n+1};q)_{y_1+\cdots+y_n}}q^{y_1+\cdots+y_n} \end{align}
と書き換えられる. ここで, $z_{n+1}=q^{-N}/a, w_{m+1}=q^{-N}/\lambda$とすると,
\begin{align} &\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_{n+1}\\y_1+\cdots+y_{n+1}=N}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_{n+1}q^{y_{n+1}})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n+1})}\prod_{k=1}^{n+1}\frac{(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_{m+1}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n+1};q)_{y_k}}\\ &=\frac{(a_1q^{-N}/a,\dots,a_{m+n+2}q^{-N}/a;q)_{N}}{(w_1q^{-N}/a,\dots,w_{m+1}q^{-N}/a,q^{1-N}/az_1,\dots,q^{1-N}/az_n,q;q)_{N}}q^{nN}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-az_kq^{(y_1+\cdots+y_n)+y_k})(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(1-az_kq^N)(w_1z_k,\dots,w_{m+1}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n},az_kq^{N+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(aq/w_1,\dots,aq/w_{m+1},az_1,\dots,az_n,q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_n}}{(aq/a_1,\dots,aq/a_{m+n+2};q)_{y_1+\cdots+y_n}}q^{y_1+\cdots+y_n}\\ &=\frac{(aq/a_1,\dots,aq/a_{m+n+2};q)_{N}}{(aq/w_1,\dots,aq/w_{m},az_1q,\dots,az_nq,\lambda aq^{N+1},q;q)_{N}}(-1)^Nq^{\binom{N}2}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-az_kq^{(y_1+\cdots+y_n)+y_k})(a_1z_k,\dots,a_{m+n+2}z_k;q)_{y_k}}{(1-az_k)(w_1z_k,\dots,w_{m}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n},z_kq^{-N}/\lambda,az_kq^{N+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(aq/w_1,\dots,aq/w_{m},az_1,\dots,az_n,\lambda aq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_n}}{(aq/a_1,\dots,aq/a_{m+n+2};q)_{y_1+\cdots+y_n}}q^{y_1+\cdots+y_n} \end{align}
となる. 右辺も全く同様に
\begin{align} &\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_{m+1}\\y_1+\cdots+y_{m+1}=N}}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_{m+1}q^{y_{m+1}})}{\Delta(w_1,\dots,w_{m+1})}\prod_{k=1}^{m+1}\frac{(w_k/a_1,\dots,w_k/a_{m+n+2};q)_{y_k}}{(w_kz_1,\dots,w_kz_{n+1},w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{m+1};q)_{y_k}}\\ &=\frac{(\lambda a_1q,\dots,\lambda a_{m+n+2}q;q)_{N}}{(\lambda q/z_1,\dots,\lambda q/z_n,\lambda w_1q,\dots,\lambda w_mq,\lambda aq^{N+1},q;q)_{N}}(-1)^Nq^{\binom{N}2}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_m}}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_mq^{y_m})}{\Delta(w_1,\dots,w_{m})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{m}\frac{(1-\lambda w_kq^{(y_1+\cdots+y_m)+y_k})(w_k/a_1,\dots,w_k/a_{m+n+2};q)_{y_k}}{(1-\lambda w_k)(w_kz_1,\dots,w_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{m},w_kq^{-N}/a,\lambda w_kq^{N+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(\lambda q/z_1,\dots,\lambda q/z_n,\lambda w_1,\dots,\lambda w_m,\lambda aq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_m}}{(\lambda a_1q,\dots,\lambda a_{m+n+2}q;q)_{y_1+\cdots+y_m}}q^{y_1+\cdots+y_m} \end{align}
となる. よって, 見やすいように$a_i$を$b_i$と置き換えて以下を得る.

\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;z):=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b_1,\dots,b_r;q)_n}{(1-a)(q,aq/b_1,\dots,aq/b_r;q)_n}z^n \end{align}
とする. 定理2において, $m=n=1$とすると$aw_1=\lambda b_1b_2b_3b_4z_1$のとき,
\begin{align} &\frac{(aq/b_1,aq/b_2,aq/b_3,aq/b_4;q)_N}{(aq/w_1,az_1q;q)_N}W(az_1;b_1z_1,b_2z_1,b_3z_1,b_4z_1,aq/w_1,\lambda aq^{N+1},q^{-N};q)\\ &=\frac{(\lambda b_1q,\lambda b_2q,\lambda b_3q,\lambda b_4q;q)_N}{(\lambda q/z_1,\lambda w_1q;q)_N}W(\lambda w_1;w_1/b_1,w_1/b_2,w_1/b_3,w_1/b_4,\lambda q/z_1,\lambda aq^{N+1},q^{-N};q) \end{align}
となることが分かる. これはBaileyの変換公式( 前の記事 の系2)と同値である.

多重Searsの変換公式

定理2において, $w_1,\dots,w_m,z_1,\dots,z_n$を$aw_1,\dots,aw_m,\lambda z_1,\dots,\lambda z_n$として, $b_1,\dots,b_{m+n+2}$を$a/b_1,\dots,a/b_{m+1},c_1/\lambda,\dots,c_{n+1}/\lambda $と置き換えると, 条件は$b_1\cdots b_{m+1}w_1\cdots w_m=c_1\cdots c_{n+1}z_1\cdots z_n$となり,

\begin{align} &\frac{(b_1q,\dots,b_{m+1}q,\lambda aq/c_1,\dots,\lambda aq/c_{n+1};q)_{N}}{(q/w_1,\dots,q/w_{m},\lambda az_1q,\dots,\lambda az_nq;q)_{N}}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-\lambda az_kq^{(y_1+\cdots+y_n)+y_k})(\lambda az_k/b_1,\dots,\lambda az_k/b_{m+1},c_1z_k,\dots,c_{n+1}z_k;q)_{y_k}}{(1-\lambda az_k)(\lambda aw_1z_k,\dots,\lambda aw_{m}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n},z_kq^{-N},\lambda az_kq^{N+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q/w_1,\dots,q/w_{m},\lambda az_1,\dots,\lambda az_n,\lambda aq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_n}}{(b_1q,\dots,b_{m+1}q,\lambda aq/c_1,\dots,\lambda aq/c_{n+1};q)_{y_1+\cdots+y_n}}q^{y_1+\cdots+y_n}\\ &=\frac{(\lambda aq/b_1,\dots,\lambda aq/b_{m+1},c_1q,\dots,c_{n+1}q;q)_{N}}{(q/z_1,\dots,q/z_n,\lambda aw_1q,\dots,\lambda aw_mq;q)_{N}}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_m}}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_mq^{y_m})}{\Delta(w_1,\dots,w_{m})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{m}\frac{(1-\lambda aw_kq^{(y_1+\cdots+y_m)+y_k})(b_1w_k,\dots,b_{m+1}w_k,\lambda aw_k/c_1,\dots,\lambda aw_k/c_{n+1};q)_{y_k}}{(1-\lambda aw_k)(\lambda aw_kz_1,\dots,\lambda aw_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{m},w_kq^{-N},\lambda aw_kq^{N+1};q)_{y_k}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q/z_1,\dots,q/z_n,\lambda aw_1,\dots,\lambda aw_m,\lambda aq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_m}}{(\lambda aq/b_1,\dots,\lambda aq/b_{m+1},c_1q,\dots,c_{n+1}q;q)_{y_1+\cdots+y_m}}q^{y_1+\cdots+y_m} \end{align}
を得る. ここで, $a\to 0$とすると, 以下を得る.

定理2において, $b_{m+n+1}=c/\lambda,b_{m+n+2}=d/\lambda$として, $\displaystyle a\lambda=:e=\frac{b_1\cdots b_{m+n}cdz_1\cdots z_n}{w_1,\dots,w_m}$を固定して$a\to 0$とすると,
\begin{align} &(eq/c,eq/d;q)_{N}\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}\\ &\qquad\cdot\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{(b_1z_k,\dots,b_{m+n}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_{m}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n};q)_{y_k}}\right)\frac{(eq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_n}}{(eq/c,eq/d;q)_{y_1+\cdots+y_n}}q^{y_1+\cdots+y_n}\\ &=(cq,dq;q)_{N}\left(\frac{b_1\cdots b_{m+n}z_1\cdots z_n}{w_1\cdots w_m}\right)^N\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_m}}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_mq^{y_m})}{\Delta(w_1,\dots,w_{m})}\\ &\qquad\cdot\prod_{k=1}^{m}\frac{q^{(y_1+\cdots+y_m)+y_k}(w_k/b_1,\dots,w_k/b_{m+n};q)_{y_k}}{(w_kz_1,\dots,w_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{m};q)_{y_k}}\left(\frac{e}{cdq}\right)^{y_k}\\ &\qquad\cdot\frac{(eq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_m}}{(cq,dq;q)_{y_1+\cdots+y_m}}\left(\frac{b_1\cdots b_{m+n}z_1\cdots z_nq^m}{w_1\cdots w_m}\right)^{-y_1-\cdots-y_m}q^{y_1+\cdots+y_m}\\ &=(cq,dq;q)_{N}\left(\frac{e}{cd}\right)^N\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_m}}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_mq^{y_m})}{\Delta(w_1,\dots,w_{m})}\\ &\qquad\cdot\left(\prod_{k=1}^{m}\frac{(w_k/b_1,\dots,w_k/b_{m+n};q)_{y_k}}{(w_kz_1,\dots,w_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{m};q)_{y_k}}\right)\frac{(eq^{N+1},q^{-N};q)_{y_1+\cdots+y_m}}{(cq,dq;q)_{y_1+\cdots+y_m}}q^{y_1+\cdots+y_m}\\ \end{align}
となる. $c,d,e$を$aq^{-N}/c,aq^{-N}/d,aq^{-N-1}$と置き換えて整理すると以下を得る.

定理4において, $d$を$aq^{1-N}/d$としてから$N\to\infty$とすると以下を得る.

多重Heineの変換公式

定理5において, $c=\lambda au,d=au$としてから$a\to 0$とすると, 以下を得る.

定理6において, $\lambda=1$の場合は$b_1\cdots b_{m+n}z_1\cdots z_n=w_1\cdots w_m$であり,
\begin{align} &\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_n}}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_{n})}u^{y_1+\cdots+y_n}\prod_{k=1}^{n}\frac{(b_1z_k,\dots,b_{m+n}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_{m}z_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{n};q)_{y_k}}\\ &=\sum_{\substack{0\leq y_1,\dots,y_m}}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_mq^{y_m})}{\Delta(w_1,\dots,w_{m})}u^{y_1+\cdots+y_m}\prod_{k=1}^{m}\frac{(w_k/b_1,\dots,w_k/b_{m+n};q)_{y_k}}{(w_kz_1,\dots,w_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{m};q)_{y_k}} \end{align}
となる. この両辺の$u^N$の係数を比較すると定理1を得る. 定理1を特殊化していくことによってより一般的な結果である定理6が得られるというところが興味深いと思う.