JMO2024-2の本番の解法（略解）

解答

　与式で$n$を$f(m)+n$と$m$が互いに素であるようにとると，$m|f(m)$ がわかる．以下，$p$を$f(1)^2$より大きな素数とする．このとき，$f(p)=kp$なる正の整数$k$をとれる．与式で$m=1,n=p$とおくと，$f(1)$と$f(1)+p$が互いに素であることから$f(1+f(p))=f(1)(f(1)+p)$となるので，$1+kp|f(1)^2+f(1)p$を得る．ここで，$f(1)$を$k$で割った余りを$r$,商を$q$とすると$1+kp|f(1)^2-q+rp$を得る．$p$は$f(1)^2$より大きいので$f(1)^2-q+rp< p+(k-1)p=kp$．また$q< f(1)\le f(1)^2$ より$f(1)^2-q+rp$は$0$以上．したがって$f(1)^2-q+rp=0$ が必要．特に$f(1)^2-q=0$であり，$q\le f(1)$であったから$f(1)=1$が必要である．あとは帰納法で頑張る．