JMO2024-2の本番の解法（略解）

287

JMO2024-2

正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数 $f$ であって，任意の正の整数 $(m, n)$ に対して
$lcm (m, f (m + f (n)) = lcm (f (m), f (m) + n)$
をみたすものをすべて求めよ．

解答

　与式で $n$ を $f (m) + n$ と $m$ が互いに素であるようにとると， $m | f (m)$ がわかる．以下， $p$ を $f (1)^{2}$ より大きな素数とする．このとき， $f (p) = k p$ なる正の整数 $k$ をとれる．与式で $m = 1, n = p$ とおくと， $f (1)$ と $f (1) + p$ が互いに素であることから $f (1 + f (p)) = f (1) (f (1) + p)$ となるので， $1 + k p | f (1)^{2} + f (1) p$ を得る．ここで， $f (1)$ を $k$ で割った余りを $r$ ,商を $q$ とすると $1 + k p | f (1)^{2} - q + r p$ を得る． $p$ は $f (1)^{2}$ より大きいので $f (1)^{2} - q + r p < p + (k - 1) p = k p$ ．また $q < f (1) \leq f (1)^{2}$ より $f (1)^{2} - q + r p$ は $0$ 以上．したがって $f (1)^{2} - q + r p = 0$ が必要．特に $f (1)^{2} - q = 0$ であり， $q \leq f (1)$ であったから $f (1) = 1$ が必要である．あとは帰納法で頑張る．

投稿日：2024年2月12日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

らぐねる

925

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

らぐねる

JMO2024-2の本番の解法（略解）