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現代数学解説
文献あり

Feldheimの双線形公式

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Appellの超幾何級数
F4[a,bc,d;x,y]:=0n,m(a,b)n+m(c)n(d)mn!m!xnym
はJacobi多項式を
Pn(a,b)(x)=(a+1)nn!2F1[n,a+b+n+1a+1;1x2]
として, 以下の展開公式を持つ.

Feldheim(1941)

F4[a,bc+1,d+1;t(1x)(1y)4,t(1+x)(1+y)4]=0nn!(a,b)n(c+1,d+1,c+d+n+1)ntn2F1[a+n,b+nc+d+2n+2;t]Pn(c,d)(x)Pn(c,d)(y).

原論文にはアクセスできなかったので, 代わりに思いついた証明を書くことにする.

右辺は
F4[a,bc+1,d+1;t(1x)(1y)4,t(1+x)(1+y)4]=0n,m(a,b)n+m(c+1)n(d+1)mn!m!(t(1x)(1y)4)n(t(1+x)(1+y)4)m=0n(a,b)ntnk=0n1k!(c+1)k(nk)!(d+1)nk((1x)(1y)4)k((1+x)(1+y)4)nk
左辺は
0nn!(a,b)n(c+1,d+1,c+d+n+1)ntn2F1[a+n,b+nc+d+2n+2;t]Pn(c,d)(x)Pn(c,d)(y)=0nn!(a,b)n(c+1,d+1,c+d+n+1)ntn0k(a+n,b+n)kk!(c+d+2n+2)ktkPn(c,d)(x)Pn(c,d)(y)=0n,kn!(a,b)n+k(c+d+2n+1)k!(c+1,d+1)n(c+d+n+1)n+k+1tn+kPn(c,d)(x)Pn(c,d)(y)=0n(a,b)ntnk=0nk!(c+d+2k+1)(nk)!(c+1,d+1)k(c+d+k+1)n+1Pk(c,d)(x)Pk(c,d)(y)
よって,
k=0n1k!(c+1)k(nk)!(d+1)nk((1x)(1y)4)k((1+x)(1+y)4)nk=k=0nk!(c+d+2k+1)(nk)!(c+1,d+1)k(c+d+k+1)n+1Pk(c,d)(x)Pk(c,d)(y)
を示せば良い. 右辺は
k=0nk!(c+d+2k+1)(nk)!(c+1,d+1)k(c+d+k+1)n+1Pk(c,d)(x)Pk(c,d)(y)=k=0n(1)k(c+d+2k+1)k!(nk)!(c+d+k+1)n+12F1[k,c+d+k+1c+1;1x2]2F1[k,c+d+k+1d+1;1+y2]
と表されるので, 1x2,1+y2を改めてx,yとすることによって示すべき等式は
k=0n1k!(c+1)k(nk)!(d+1)nk(x(1y))k(y(1x))nk=k=0n(1)k(c+d+2k+1)k!(nk)!(c+d+k+1)n+12F1[k,c+d+k+1c+1;x]2F1[k,c+d+k+1d+1;y]
両辺のxrysの係数を考えると
(1)r+s+nk=0n1k!(c+1)k(nk)!(d+1)nk(nkrk)(ksn+k)=k=0n(1)k(c+d+2k+1)k!(nk)!(c+d+k+1)n+1(k,c+d+k+1)rr!(c+1)r(k,c+d+k+1)ss!(d+1)s
を示せば良いことが分かる. 左辺はVandermondeの和公式より,
(1)r+s+nk=0n1k!(c+1)k(nk)!(d+1)nk(nkrk)(ksn+k)=(1)r+s+n(nr)!(ns)!k=0n1(rk)!(c+1)k(sn+k)!(d+1)nk=(1)r+s+n(nr)!(ns)!k=0r+sn1k!(c+1)rk(r+snk)!(d+1)nr+k=(1)r+s+n(nr)!(ns)!(c+1)r(d+1)nr(r+sn)!2F1[nrs,rcd+1+nr;1]=(1)r+s+n(nr)!(ns)!(c+1)r(d+1)nr(r+sn)!(c+d+n+1)r+sn(d+1+nr)r+sn=(1)r+s+n(c+d+n+1)r+sn(nr)!(ns)!(c+1)r(d+1)s(r+sn)!.
右辺は
k=0n(1)k(c+d+2k+1)k!(nk)!(c+d+k+1)n+1(k,c+d+k+1)rr!(c+1)r(k,c+d+k+1)ss!(d+1)s=(1)r+sr!s!(c+1)r(d+1)sk=0n(1)kk!(c+d+2k+1)(c+d+1)k+r(c+d+1)k+s(kr)!(ks)!(nk)!(c+d+1)k(c+d+1)n+k+1=(1)r+s+nr!s!(c+1)r(d+1)sk=0n(1)k(nk)!(c+d+2n2k+1)(c+d+1)nk+r(c+d+1)nk+s(nkr)!(nks)!k!(c+d+1)nk(c+d+1)2nk+1=(1)r+s+n(c+d+2n+1)r!s!(c+1)r(d+1)sn!(c+d+1)n+r(c+d+1)n+s(nr)!(ns)!(c+d+1)n(c+d+1)2n+1k=0nc+d+2n2k+1c+d+2n+1(rn,sn,ncd,12ncd)kk!(n,nrcd,nscd)k.
ここで, Dougallの5F4和公式より,
k=0nc+d+2n2k+1c+d+2n+1(rn,sn,ncd,12ncd)kk!(n,nrcd,nscd)k=(cd2n,s)nr(n,nscd)nr=r!s!(1+n+r+c+d)nrn!(r+sn)!(1+r+s+c+d)nr=r!s!(1+c+d)2n(1+c+d)r+sn!(r+sn)!(1+c+d)n+r(1+c+d)n+s
だから,
(1)r+s+n(c+d+2n+1)r!s!(c+1)r(d+1)sn!(c+d+1)n+r(c+d+1)n+s(nr)!(ns)!(c+d+1)n(c+d+1)2n+1k=0nc+d+2n2k+1c+d+2n+1(rn,sn,ncd,12ncd)kk!(n,nrcd,nscd)k=(1)r+s+n(c+d+2n+1)r!s!(c+1)r(d+1)sn!(c+d+1)n+r(c+d+1)n+s(nr)!(ns)!(c+d+1)n(c+d+1)2n+1r!s!(1+c+d)2n(1+c+d)r+sn!(r+sn)!(1+c+d)n+r(1+c+d)n+s=(1)r+s+n(c+d+n+1)r+sn(nr)!(ns)!(c+1)r(d+1)s(r+sn)!
となって左辺に一致する.

証明からも分かるように, tの係数のPochhammer記号をいくつにしても成立する. (a,b)nだけ付けているのは左辺に現れる超幾何級数が扱いやすい2F1になるようにそのようになっているものと思われる.

参考文献

[1]
Ervin Feldheim, Contributions à la théorie des polynomes de Jacobi, Mat. Fiz. Lapok, 1941, 453-504
投稿日:317
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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