高校数学解説

正多角形の極方程式

正多角形,極座標,極方程式

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経緯

高3の秋ぐらいに高1の頃のノートを漁ってた自分がノートにあった式をほんの少し修正して出来上がったやつをネットに放り投げとく。

公式

床関数(ガウス記号)

$\alpha$を実数とする。
$$n\leq\alpha\lt n+1$$
を満たす整数$n$がただ一つに定まるのでそれを
$$n=\lfloor\alpha\rfloor$$
と表記する。

正多角形の極方程式

極を中心とする半径$1$の円(つまり円$r=1$)に内接し極座標が$(1,0)$(←直交座標でも$(1,0)$ではあるが)を通る正$n$角形の極方程式は
$$r=\left|\frac{(\sin(\frac{2\pi}{n}\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor)-\sin(\frac{2\pi}{n}(\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor+1)))\cos(\frac{2\pi}{n}\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor)-(\cos(\frac{2\pi}{n}\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor)-\cos(\frac{2\pi}{n}(\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor+1)))\sin(\frac{2\pi}{n}\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor)}{(\sin(\frac{2\pi}{n}\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor)-\sin(\frac{2\pi}{n}(\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor+1)))\cos(\theta)-(\cos(\frac{2\pi}{n}\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor)-\cos(\frac{2\pi}{n}(\lfloor\frac{n\theta}{2\pi}\rfloor+1)))\sin(\theta)}\right|$$

なんじゃこれ。原理はもう覚えてないし考えようとも思いません。
!FORMULA[10][36584159][0] $n=8$ !FORMULA[11][36584066][0] $n=5$
何はともあれうまくいっていることが分かります。
ちなみに$n$は$3$以上の自然数でなくても任意の正の実数でももちろんグラフは描けます。$n$が有理数なら$\theta$の定義域を適切($n$を既約分数表示したときの分母$\times 2\pi$以上)にとれば一周してくれます。$n$に無理数を代入すると$\theta$の定義域をどれだけ広げても無限に異なる点をぐるぐるし続けます。
!FORMULA[20][-1959325590][0] $n=\frac{5}{2}$
!FORMULA[21][-1120323908][0] $n=\frac{22}{7}$
!FORMULA[22][921008537][0] $n=\sqrt{e}\pi$
!FORMULA[23][1514343111][0] $n=\sqrt{2}$
↑$|n|\lt2$にすると円$r=1$からはみだすっぽい。