自作問題あなぐら１１（正方形上の動点による曲線で囲まれた面積）

　動点の出発時刻を$t=0$とする．点$\mathrm{A}$を原点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$x$方向，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$y$方向とする$xy$座標系をとる．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}$に至るのは時刻$t=2$である．
(i) $0\le t\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\mathrm{P}(t,0)$，$\mathrm{Q}(1,2t)$ゆえ$\mathrm{R}({\displaystyle \frac{t+1}{2}},t)$．よって点$\mathrm{R}$は線分$x={\displaystyle \frac{y+1}{2}}(0\le y\le {\displaystyle \frac{1}{2}})$を描く．
(ii) ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le t\le 1$のとき，$\mathrm{P}(t,0)$，$\mathrm{Q}(2-2t,1)$ゆえ$\mathrm{R}({\displaystyle \frac{-t+2}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$．よって点$\mathrm{R}$は線分$y={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}\le x\le {\displaystyle \frac{3}{4}})$を描く．
(iii) $1\le t\le {\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$\mathrm{P}(1,t-1)$，$\mathrm{Q}(0,3-2t)$ゆえ$\mathrm{R}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{-t+2}{2}})$．よって点$\mathrm{R}$は線分$x={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{4}}\le y\le {\displaystyle \frac{1}{2}})$を描く．
(iv) ${\displaystyle \frac{3}{2}}\le t\le 2$のとき，$\mathrm{P}(1,t-1)$，$\mathrm{Q}(2t-3,0)$ゆえ$\mathrm{R}(t-1,{\displaystyle \frac{t-1}{2}})$．よって点$\mathrm{R}$は線分$y={\displaystyle \frac{x}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}\le x\le 1)$を描く．
　よって，点$\mathrm{R}$の軌跡は下図のようになる．求める面積は
$$2\times \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{24}.$$
点$\mathrm{R}$の軌跡