自作問題あなぐら１１（正方形上の動点による曲線で囲まれた面積）
問題
一辺の長さが$1$である正方形$\mathrm{ABCD}$があり，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がその辺上を動く．動点$\mathrm{P}$は速さ$1$で，点$\mathrm{A}$から出発し$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の順にこれらの点を通るように動く．一方，動点$\mathrm{Q}$は速さ$2$で，点$\mathrm{B}$から出発し$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{A}$の順にこれらの点を通るように動く．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．
2点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が同時に出発して，$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$に至るまでに$\mathrm{R}$が描く図形によって囲まれる部分の面積を求めよ．
余話
場合分けするだけの簡単な問題で（あると思いま）す．
解答
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動点の出発時刻を$t = 0$とする．点$\mathrm{A}$を原点とし，$\Lvec{AB}$を$x$方向，$\Lvec{AD}$を$y$方向とする$xy$座標系をとる．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}$に至るのは時刻$t = 2$である．
(i) $0 \leq t \leq \dfrac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}(t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(1,\ 2t)$ゆえ$\mathrm{R}\left(\dfrac{t + 1}{2},\ t \right)$．よって点$\mathrm{R}$は線分$x = \dfrac{y + 1}{2}\ \left(0 \leq y \leq \dfrac{1}{2}\right)$を描く．
(ii) $\dfrac{1}{2} \leq t \leq 1$のとき，$\mathrm{P}(t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(2 - 2t,\ 1)$ゆえ$\mathrm{R}\left(\dfrac{-t + 2}{2},\ \dfrac{1}{2} \right)$．よって点$\mathrm{R}$は線分$y = \dfrac{1}{2}\ \left(\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right)$を描く．
(iii) $1 \leq t \leq \dfrac{3}{2}$のとき，$\mathrm{P}(1,\ t-1)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3-2t)$ゆえ$\mathrm{R}\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{-t+2}{2} \right)$．よって点$\mathrm{R}$は線分$x = \dfrac{1}{2}\ \left(\dfrac{1}{4} \leq y \leq \dfrac{1}{2}\right)$を描く．
(iv) $\dfrac{3}{2} \leq t \leq 2$のとき，$\mathrm{P}(1,\ t-1)$，$\mathrm{Q}(2t-3,\ 0)$ゆえ$\mathrm{R}\left(t-1,\ \dfrac{t-1}{2} \right)$．よって点$\mathrm{R}$は線分$y = \dfrac{x}{2}\ \left(\dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\right)$を描く．
よって，点$\mathrm{R}$の軌跡は下図のようになる．求める面積は
$$
2 \times \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{24}.
$$
![点!FORMULA[59][548455737][0]の軌跡](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FeXJ1ZPgqXN9lswk30gdO.gif?alt=media)
点$\mathrm{R}$の軌跡
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