Kaneko-Sakataの和公式の有限和を用いた証明
この記事では, 多重ゼータ値の満たす関係式である金子-坂田の和公式の, 有限和を用いた証明を紹介します. 元ネタはHMSWHMSWです.
Introduction
まず基本的な概念を導入します.
$N$を正整数とする. インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1, \ldots , k_r)$に対して, 有限多重調和(星)和を
$$
\begin{align}
\zeta_{N}(k_1, \ldots, k_r)&:=\sum_{0< n_1<\cdots < n_r< N}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\\
\zeta^{\star}_{N}(k_1, \ldots, k_r)&:=\sum_{0< n_1\leq \cdots \leq n_r< N}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end{align}
$$
により定める. $k_r>1$のとき,
$$
\zeta(\bk ) := \lim _{n \to \infty} \zeta_N(\bk), \, \zeta^{\star}(\bk ) := \lim _{n \to \infty} \zeta^{\star}_N(\bk),
$$
を多重ゼータ(スター)値と呼ぶ.
この記事で用いるその他の記法については, 適宜
Mathpedia
を参照してください.
Kaneko-Sakataの和公式KSとは, 以下の定理のことです.
正整数$a,b$に対して
$$
\zeta(\{1\}^{a-1},b+1) = \sum_{0< r}(-1)^{r-1}\sum_{\substack{0< k_1,\ldots, k_r , \, k_1+\cdots k_r = a
\\
0< l_1,\ldots, l_r , \, l_1+\cdots l_r = b
}}\zeta(k_1+l_1, \ldots , k_r + l_r)
$$
この定理が, 有限和に関する等式の極限として出てくることを見ます.
定理の証明
$N$を正整数とする. 非負整数$a,b$に対して
$$
\begin{align}
f_{N}(a,b)&:= \sum_{0< m_1\leq \cdots \leq m_a \leq n_1\leq \cdots \leq n_b < N}\frac{1}{(N-m_1)\cdots (N-m_a)n_1\cdots n_b}
\\
f^{+}_{N}(a,b)&:= \sum_{0\red{\leq}m_1\leq \cdots \leq m_a \red{<} n_1\leq \cdots \leq n_b \red{\leq} N}\frac{1}{(N-m_1)\cdots (N-m_a)n_1\cdots n_b}
\\
g_{N}(a,b)&:= \sum_{0< m_1\leq \cdots \leq m_a \red{=} n_1\leq \cdots \leq n_b < N}\frac{1}{(N-m_1)\cdots (N-m_a)n_1\cdots n_b}
\end{align}
$$
とおく. このとき$f^{+}_N(a,b) = f_{N+1}(a,b)$であることが容易に分かる.
ここで定義した$f_N(a,b)$ですが, $N\to \infty$の極限では
$$
\begin{align}
\lim_{n\to \infty}f_N(a,b) &= \int_{0< s_1<\cdots < s_a< t_1<\cdots < t_b <1}\frac{\d s_1}{1-s_1}\cdots \frac{\d s_a}{1-s_a}\frac{\d t_1}{t_1}\cdots \frac{\d t_b}{t_b}
\\
&=\zeta (\{1\}^{a-1},b+1)
\end{align}
$$
となります. この$f_N(a,b)$を多重調和和に分解する, というのが基本方針です. そのために, $f_N$が満たす差分方程式を求めます.
$(\Delta f)_N (a,b) = f_{N+1}(a,b) - f_N(a,b)$とおくと,$a,b >0$に対して
$$
(\Delta f)_N (a,b) =
\frac{1}{N}(\Delta f)_N (a-1,b)+\frac{1}{N}(\Delta f)_N (a,b-1) - \frac{1}{N^2}f^{+}_N (a-1,b-1)
$$
$$\frac{1}{(N-n)n} = \frac{1}N \left(\frac{1}{N-n} + \frac{1}n\right)$$
より$g_N(a,b) = (f_N(a-1,b) + f_N(a,b-1))/N$であることに注意して
$$
\begin{align}
f^{+}_{N}(a,b)&= \sum_{0\red{\leq}m_1\leq \cdots \leq m_a < n_1\leq \cdots \leq n_b \red{\leq} N}\frac{1}{(N-m_1)\cdots (N-m_a)n_1\cdots n_b}
\\
&=\left (
\sum_{0\red{<}m_1\leq \cdots \leq m_a < n_1\leq \cdots \leq n_b \red{<} N}
\\
+\sum_{0\red{=}m_1\leq \cdots \leq m_a < n_1\leq \cdots \leq n_b \red{\leq} N}
+\sum_{0\red{\leq}m_1\leq \cdots \leq m_a < n_1\leq \cdots \leq n_b \red{=} N}
-\sum_{0\red{=}m_1\leq \cdots \leq m_a < n_1\leq \cdots \leq n_b \red{=} N}
\right)(和の中身は略)
\\
&=(f_N(a,b) - g_N(a,b)) + \frac{1}{N}f^+_N(a-1,b)+\frac{1}{N}f^+_N(a,b-1)-\frac{1}{N^2}f^+_N(a-1,b-1)
\\
&=f_N(a,b) + \frac{1}{N}(\Delta f)_N (a-1,b)+\frac{1}{N}(\Delta f)_N (a,b-1) - \frac{1}{N^2}f^{+}_N (a-1,b-1)
\end{align}
$$
なお, 途中に用いた和の分解は自由代数$\mathbb{Z}\langle a,b\rangle$における等式
$$(a+ b)^2= b^2 + a(a+b) + (a+b)a - a^2$$
による. ($(a,b) = (\red=,\red <)$とせよ.)
上記の差分方程式により, $f_N(a,b)$を有限多重調和和に分解することができます.
$D \colon \mathbb Z_{>0}^2 \to \span_\Q\mathcal{I}'_0 $を
$$
\begin{align}
D(a,b) &= D(a-1,b)_{\uparrow}+D(a,b-1)_{\uparrow} - D(a-1,b-1)_{\rightarrow\uparrow}- D(a-1,b-1)_{\uparrow\uparrow} &&\text{if a,b >1}
\\
D(1,b) &= D(1,b-1)_{\uparrow} && \text{if a=1,b >1}
\\
D(a,1) &= D(a-1,1)_{\uparrow} && \text{if a>1,b=1}
\\
D(1,1) &= (2) && \text{if a=b=1}
\end{align}
$$
により定めると,
$$
f_N(a,b) = \zeta_N(D(a,b))
$$
$a$または$b$が1のとき, $f_N(a-1,b)=f_N(a,b-1) =\zeta^\star_N(\{1\}^{a+b-1})$であることに注意すると
$(\Delta f)_N(a-1,b) =(\Delta f)_N(a,b-1) =\frac{1}N f^+_N(a-1,b-1)$
なので, $a=b=1$の場合のみ示せば,残りは差分方程式(補題)から帰納的に従う.
$(\Delta f)_N(1,1)=\frac{1}{N}(\Delta f)_N(1,0)=\frac{1}{N^2}$
なので示された.
上の定理において$N\to \infty$とすることで, 多重ゼータ値の関係式
$$
\zeta(\{1\}^{a-1},b+1) = \zeta(D(k))
$$
を得ます.
ところで, Kaneko-Sakataの和公式の右辺に現れるインデックスの形式和は$D(a,b)$と全く同じ漸化式を満たすことが($k_r,l_r$が$1$かどうかの場合分けにより)分かるので, 実はこれはKaneko-Sakataの和公式に一致します.
補足
ここで定義した$f_N(a,b)$は, HMSWHMSWの記法を用いれば
$f_N(a,b) = \zeta^{\diamond}_N(\{1\}^{a-1},b+1)$
と表せます.
