【ニコラ・テスラ】３６９の法則

まず$k=0$の場合について計算します。
上で定義した関数$dr$の式に従い計算していきます。
$dr(2^{0}) = dr(1) = \dr{1} = 1$
$dr(2^{1}) = dr(2) = \dr{2} = 2$
$dr(2^{2}) = dr(4) = \dr{4} = 4$
$dr(2^{3}) = dr(8) = \dr{8} = 8$
$dr(2^{4}) = dr(16) = \dr{16} = 7$
$dr(2^{5}) = dr(32) = \dr{32} = 5$

次に$dr(2^{6} \cdot n)$を計算します。
\begin{align} dr(2^{6} \cdot n) &= dr(64n)\\ &= \dr{64n}\\ &= \dr{63n + n}\\ &= 1 + (((63n \ mod \ 9) + ((n-1) \ mod \ 9)) \ mod \ 9) （剰余演算の分配則より）\\ &= 1 + ((0 + ((n-1) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + (((n-1) \ mod \ 9) \ mod \ 9)\\ &= \dr{n}\\ &= dr(n) \end{align}
このことを繰り返し使うと
\begin{align} dr(2^{6k} \cdot n) &= dr(2^{6} \cdot 2^{6(k-1)} \cdot n)\\ &= dr(2^{6(k-1)} \cdot n) = \cdots = dr(n)\\ \end{align}
すなわち$dr(2^{6k} \cdot n) = dr(n)$となります。

$k=0$の場合の計算結果と組み合わせると
$dr(2^{6k}) = dr(2^{6k} \cdot 2^{0}) = dr(2^{0}) = 1$
$dr(2^{6k+1}) = dr(2^{6k} \cdot 2^{1}) = dr(2^{1}) = 2$
$dr(2^{6k+2}) = dr(2^{6k} \cdot 2^{2}) = dr(2^{2}) = 4$
$dr(2^{6k+3}) = dr(2^{6k} \cdot 2^{3}) = dr(2^{3}) = 8$
$dr(2^{6k+4}) = dr(2^{6k} \cdot 2^{4}) = dr(2^{4}) = 7$
$dr(2^{6k+5}) = dr(2^{6k} \cdot 2^{5}) = dr(2^{5}) = 5$
よって「2のべき乗の数字根についての予想」が成り立つことを示すことができました。

\begin{align} dr(3n) &= \dr{3n}\\ &= 1 + (((2 \ mod \ 9) + ((3n-3) \ mod \ 9)) \ mod \ 9) （剰余演算の分配則より）\\ &= 1 + ((2 + ((3(n-1)) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + (((3 \ mod \ 9)((n-1) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)) \ mod \ 9) （剰余演算の分配則より）\\ &= 1 + ((2 + ((3((n-1) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((3(-1 + \dr{n})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(n)) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ \end{align}

2のべき乗の数字根の結果を利用すると、
\begin{align} dr(3 \cdot 2^{6k}) &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(2^{6k})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 3) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 3 \end{align}
\begin{align} dr(3 \cdot 2^{6k+1}) &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(2^{6k+1})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 6) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 6 \end{align}
\begin{align} dr(3 \cdot 2^{6k+2}) &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(2^{6k+2})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 12) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 3 \end{align}
\begin{align} dr(3 \cdot 2^{6k+3}) &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(2^{6k+3})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 24) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 6 \end{align}
\begin{align} dr(3 \cdot 2^{6k+4}) &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(2^{6k+4})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 48) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 3 \end{align}
\begin{align} dr(3 \cdot 2^{6k+5}) &= 1 + ((2 + ((-3 + 3dr(2^{6k+5})) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((2 + ((-3 + 96) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 6 \end{align}

この結果を整理すると下のようにまとめることができます。
$dr(3 \cdot 2^{2k}) = 3$
$dr(3 \cdot 2^{2k+1}) = 6$

よって「3を2倍ずつしていった数の数字根についての予想」が成り立つことを示すことができました。

\begin{align} dr(9n) &= \dr{9n}\\ &= 1 + (((8 \ mod \ 9) + ((9n-9) \ mod \ 9)) \ mod \ 9) （剰余演算の分配則より）\\ &= 1 + ((8 + 0) \ mod \ 9)\\ &= 9\\ \end{align}

任意の$n$に対して$9n$の数字根は$9$となることを示すことができました。
よって「9を2倍ずつしていった数の数字根についての予想」が成り立つことを示すことができました。

\begin{align} dr(9+n) &= \dr{9+n}\\ &= 1 + (((9 \ mod \ 9) + ((n-1) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= 1 + ((0 + ((n-1) \ mod \ 9)) \ mod \ 9)\\ &= \dr{n}\\ &= dr(n)\\ \end{align}