環のスペクトラムの構造層とその具体例

前層になることを示すのは簡単なため省略する．$U\subset \spec(R)$を開集合，$U= \bigcup_{i\in \varLambda } V_i $を$U$の開被覆とする．
$s \in \mathcal{O} (U)$は任意の$i\in \varLambda$で$\rho_{UV_i}(s)=s|_{V_i}=0$とするとき，任意の$\mathfrak{p}\in U$に対し$\mathfrak{p}\in V_{i_0}$となる$i_0\in \varLambda$が存在するので$s(\mathfrak{p})=(s|_{V_{i_0}})(\mathfrak{p})=0$よって$s=0$．
各$i\in \varLambda$に対し$s_i \in \mathcal{O} (V_i)$は，$s_i|_{V_i \cap V_j}=s_j|_{V_i \cap V_j}$，$j,i\in \varLambda$を満たすとする．ここで$s \in \mathcal{O} (U)$を，各$ \mathfrak{p}\in U$に対し$\mathfrak{p}\in V_{i}$となる$i\in \varLambda$をとり，$s(\mathfrak{p})=s_i(\mathfrak{p})$と定める．$V_i \cap V_j$上では$s_i,s_j$の値は一致するので$s$はwell-defindeである．そして任意の$i\in \varLambda$に対して$s|_{V_i}=s_i$であることは定め方から分かる．
以上より$\mathcal{O}$は可換環の層になることが確かめられた．

写像$\varphi: \mathbb{Z}[ \frac{1}{f} ]\rightarrow\mathcal{O} (U); \frac{a}{f^n} \mapsto \varphi(\frac{a}{f^n} )$を$\varphi(\frac{a}{f^n} ):\mathfrak{p}\mapsto a/f^n\in \mathbb{Z}_\mathfrak{p}$として定める．すると$\varphi$はwell-defindeな準同型写像である．
初めに$\varphi$は単射であることを示す．各$\mathfrak{p}\in U$に対し$\varphi(\frac{a}{f^n})(\mathfrak{p})=0(\mathfrak{p})$とするとき，$\mathbb{Z}_\mathfrak{p}$で$a/f^n=0/1$である．$\mathbb{Z}$は整域なため$a=0$である．ゆえに$\mathbb{Z}[ \frac{1}{f} ]$で$\frac{a}{f^n}=\frac{0}{f^n}=0$である．
次に$\varphi$は全射であることを示す．$s\in\mathcal{O} (U)$をとる．各$\mathfrak{p}\in U$に対し$s$の条件(※)を満たす$\mathfrak{p}$の開近傍$V_\mathfrak{p}$と$a_\mathfrak{p},f_\mathfrak{p}\in \mathbb{Z} $をとる．任意の二点$\mathfrak{p},\mathfrak{p}'\in U$に対し，それぞれの近傍$V_\mathfrak{p},V_{\mathfrak{p}'}$の共通部分は空集合でないことから，任意の点$\mathfrak{q}\in U= \bigcup_{\mathfrak{q}\in U} V_\mathfrak{q}$で
$$s(\mathfrak{q})=a_\mathfrak{p}/f_\mathfrak{p}=a_\mathfrak{p'}/f_\mathfrak{p'}\in \mathbb{Z}_\mathfrak{q} \qquad \mathfrak{p},\mathfrak{p}'\in U $$
を満たす．すなわち$a_\mathfrak{p} f_\mathfrak{p'}-a_\mathfrak{p'} f_\mathfrak{p}=0$．さらにすべての$\mathfrak{p},\mathfrak{q}\in U$で$f_\mathfrak{p}\not \in \mathfrak{q}$である．これは$f_\mathfrak{p}\in(f)$であることを意味する．よって$0=a_\mathfrak{p} f_\mathfrak{p'}-a_\mathfrak{p'} f_\mathfrak{p}=a_\mathfrak{p} b'f^m-a_\mathfrak{p'} bf^n$，$b,b'\in \mathbb{Z} ,n,m \geq 0$となる．$h=a_\mathfrak{p} b',h'=a_\mathfrak{p'} b$とおく．
さて，$hf^m-h'f^n=0$なので$\mathbb{Z}[ \frac{1}{f} ]$で，
$$\frac{h'}{f^m}=\frac{h}{f^n}$$
である．よって$\varphi(\frac{h}{f^n} )=s$となる．