フィボナッチ多項式の因数分解

自然数$m$に関する命題

• $P(m)$ : $F_m(X)$の次数は$m-1$であり, 最高次係数は1である.

に対して数学的帰納法(正確には2ステップの累積機能法)を適用して証明を進める.

まず, $F_1(X)=1$は0次多項式であり, 最高次係数は1となるため, 命題$P(1)$を満たす.

また, $F_2(X)=X$は1次多項式であり, 最高次係数は1となるため, 命題$P(2)$を満たす.

次に, 自然数$k$として$P(k)$と$P(k+1)$がともに成り立つものをとったとき, 漸化式
$$ F_{k+2}(X)=XF_{k+1}(X)+F_k(X) $$
より, $F_{k+2}(X)$は$k+3$次多項式となり, $F_{k+2}$の最高次係数は$F_{k+1}$の最高次係数と等しくなるため1となる.
これらより, $P(k+2)$は真となる.

したがって, 数学的帰納法より任意の自然数$m$に対して$P(m)$は真となる.

2以上の自然数$n$を任意に取り固定する.

複素数$z$を$F_n(z)=0$を満たすとしてとると, フィボナッチ多項式の閉形式表示より
$$ \varphi(z)^n-\psi(z)^n=0 \,\land\, \varphi(z)-\psi(z)\neq0 $$
となる.
ここで, $\varphi(z)^n-\psi(z)^n=0$と$\varphi(z)\psi(z)=-1$より$\varphi(z)^{2n}=(-1)^n$が成り立つため, ある整数$m=0,1,2,\ldots,2n-1$が存在し
$$ \varphi(z)=i\exp\left(\frac{m}{n}\pi i\right) $$
が成り立つ.
他方, $\varphi(z)-\psi(z)\neq0$と$\varphi(z)\psi(z)=-1$より$\varphi(z)^2\neq-1$なため,
$$ \varphi(z)\neq i \,\land\, \varphi(z)\neq -i $$
よって, $m\neq n$かつ$m\neq 0$となる.
また, $\varphi(z)+\psi(z)=z$と$\varphi(z)\psi(z)=-1$より
$$ \begin{align*} z &=\varphi(z)+\psi(z)\\ &=\varphi(z)-\varphi(z)^{-1}\\ &=i\left(\exp\left(\frac{m}{n}\pi i\right)+\exp\left(-\frac{m}{n}\pi i\right)\right)\\ &=2i\cos\left(\frac{m}{n}\pi\right) \end{align*} $$
となる.
したがって, 以下の同値が成り立つ.
$$ F_n(z)=0 \iff \exists m\in\{1,\ldots,n-1,n+1,\ldots,2n-1\}\,;\, z=2i\cos\left(\frac{m}{n}\pi\right) $$
また, 余弦関数$w=\cos{z}$の軸$z=\pi$における対称性から, $m$の存在範囲を$\{1,\ldots,n-1\}$とすれば$m$は一意的となる.
すなわち,
$$ F_n(z)=0 \iff \exists! m\in\{1,\ldots,n-1\}\,;\, z=2i\cos\left(\frac{m}{n}\pi\right) $$
となる.

自然数$n$を任意に取り固定する.

補題2 より, 定数$C$が存在し以下の等式が成り立つ.
$$ F_n(X)=C\prod_{k=1}^{n-1}\left(X-2i\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) $$
ここで, $F_n(X)$の最高次係数が1であるため, $C=1$となる.

定理2 より明らか. ²