現代数学解説

文献あり

上野健爾著『代数幾何入門』正誤表

代数幾何,正誤表

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この記事は上野健爾著『代数幾何入門』(オンデマンド版)1に対する正誤表です．一読者である私(ことり)が作成したものですので，ミスがあるかもしれません．

l.-nとは，下からn行目であることを意味します．
「(注意)」として誤りではないが注意が必要な箇所について記述しました．

正誤表

p.40, l.-4

式(1.46)は $a_{0}$ と $a_{1}$ が逆．

p.44, l.7

$λ^{m - 2} μ^{2} Δ_{b}^{(2)} F (a)$ という項は $1 / 2$ 倍する必要がある．p.44, l.-10およびp.45, l.2も同様．

p.46, l.-11

誤： $(2 a_{0} + 3 a_{1}) x_{1}^{2}$
正： $(2 a_{0} + 6 a_{1}) x_{1}^{2}$

p.76, l.-4

誤： $α b_{1} + β b_{3} = a_{3}$
正： $α b_{1} + β b_{3} = b_{2}$

p.91, l.4

誤： $P^{2} (C^{2})$
正： $P^{2} (C)$

p.126, l.13

誤： $g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2}$
正： $g_{2}^{3} + 27 g_{3}^{2}$

p.129, l.-7

誤： $b_{i j}, 1 \leq i, j \leq n$
正： $b_{i j}, 1 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq n$

p.149, l.1

誤： $\frac{(u - v) i}{1 + u v}$

正： $\frac{u - v}{1 + u v}$

p.149, l.-2

誤： $F (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$
正： $F_{j} (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$

p.169, l.10

誤： $i = 1, 2, 3$
正： $i = 0, 1, 2$

p.187, l.-2

誤： $A^{1} - {(0, 0)}$
正： $A^{1} - {0}$

p.194, l.10

$n$ が偶数の場合の議論は本の通りにはいかない気がします． $\tilde{h}$ の定め方やp.195, l.1の局所パラメータ表示に対して疑問があります．符号とかがおかしい気がします．

例えば， $- g (u, v) = (v + 3 u) (v + u) (v - u) (v - 3 u) - u^{2} = v^{4} - 10 u^{2} v^{2} + 9 u^{4} - u^{2}$
の場合．

$h_{+} (z) := z^{- 1} + (5 / 2) t + (7 / 8) t^{3} + \dots$ ，

$h_{-} (z) := h_{+} (i z)$

と定めると，

$\begin{aligned} - g (u, v) & = (v - u h_{+} (u^{1 / 2})) (v - u h_{+} (- u^{1 / 2})) (v + u h_{-} (u^{1 / 2})) (v + u h_{+} (- u^{1 / 2})) \\ = (v^{2} - (u + 5 u^{2} + 8 u^{3} + \dots)) (v^{2} + (u - 5 u^{2} + 8 u^{3} + \dots)) \end{aligned}$
という形に分解され，次の2つの局所パラメータ表示として表されます：

${\begin{cases} u = t^{2} \\ v = t^{2} h_{+} (t) \end{cases}$

および
${\begin{cases} u = t^{2} \\ v = - t^{2} h_{-} (t) . \end{cases}$

後者の局所パラメータ表示で $t$ を $- i t$ に置き換えることで次の形にもなります：
${\begin{cases} u = t^{2} \\ v = t^{2} h_{+} (t) \end{cases}$
および
${\begin{cases} u = - t^{2} \\ v = t^{2} h_{+} (t) . \end{cases}$

ここでの $h_{-}$ の定め方は本の定め方と整合しません．

p.192

有理関数 $f$ に対する主因子 $(f)$ について． $f \equiv 0$ の場合は主因子 $(0)$ は定義されない，とするのが良いと思います．以降のいくつかの定義や命題では必要なら $f \equiv 0$ の場合を除外するのが良いと思います．（ゼロ微分型式に対する標準因子についても同様．）

p.197, l.4

（注意）以降の議論のために， $D = 0$ の場合も正因子に含めると解釈するのが良いと思います．また，あとで出てくる記法ですが，2つの因子 $D_{1}, D_{2}$ に対して，「 $D_{1} \geq D_{2}$ 」とは「 $D_{1} - D_{2} \geq 0$ 」という意味だと解釈するといいと思います．

p.199

微分型式 $ω$ に対する標準因子 $(ω)$ について． $ω = 0$ の場合は標準因子 $(0)$ は定義されないとするのが良いと思います．以降のいくつかの定義や命題では必要なら $ω = 0$ の場合を除外するのが良いと思います．

p.210, l.-7

誤： $t = a + (s + b)^{n}$
正： $t = - a + (s + b)^{n}$

p.223, l.13

$Δ =$ の右辺を $Δ = - 4 a_{4}^{3} - 27 a_{6}^{2} + 3 a_{2}^{2} a_{4}^{2} - 4 a_{2}^{3} a_{6} + 18 a_{2} a_{4} a_{6}$ に変更する．

p.235, l.-4

誤：非特異射影直線
正：非特異射影曲線

p.238, l.-9

「 $j ≢ 0 (\mod m)$ であれば，...ただ $1$ つ定まるので」とあるが誤り． $m$ が素数とは限らないため，定理A.2を適用できない．

実際，例えば $m = 6$ , $j = 2$ , $k = 1$ とすると， $l j \equiv k (\mod m)$ となる $l$ は存在しない．
$\sum ε^{l j} = \dots$ の式自体は合っている．本の議論の代わりに，等比数列の和の公式を用いると示せる．

p.246, l.1

解が間違っている．
正しくは， $(x, y) = (1, \pm α), (1 + α, \pm (1 + α)), (1 + 2 α, \pm (1 + 2 α))$ ．

最後の2つは $(1 + 2 α, \pm (2 + α))$ のままでも良い．（ $\pm (2 + α) = \mp (1 + 2 α)$ ）

p.246

（注意） $N_{m} (\tilde{C}) = 3^{m} + 1$ を導く議論は誤りではないが，無駄がある．次のようにすると短くなる：

本の2つの写像
$a \mapsto a + 1$
と
$b \mapsto b^{5}$
が全単射なので， $y \in k_{m}$ を固定すると $a_{y}^{5} + 1 = y^{2}$ を満たす $a_{y} \in k_{m}$ はただ1つ．

ゆえに，
$(x^{5} + 1 = y^{2} の解の個数) = (y の選択肢の個数) = 3^{m}$ ．
無限遠点を加えて $N_{m} (\tilde{C}) = 3^{m} + 1$ となる．

p.247,l.-9

(注意) $E \geq Q$ とは， $E - Q \geq 0$ という意味だと解釈するとよいと思います．

p.249, l.2

誤： $\frac{1}{(1 - q u)^{2}}$

正： $\frac{1}{(1 - u) (1 - q u)}$

また，標数が3の場合も除外する必要はなく同じ結果になる．

p.248, l.-15

誤： $Δ = 2^{- 8} a^{2 p} b^{2 p} c^{2 p}$
正： $Δ = a^{2 p} b^{2 p} c^{2 p}$
判別式の定義は文脈によって定数倍の違いがあるかもしれないが，右辺の3次式の根を $α, β, γ$ としたとき $Δ = (α - β)^{2} (β - γ)^{2} (γ - α)^{2}$ と定義する場合は，問題の楕円曲線の判別式はこの値が正しい．

p.248,l.-11

$j =$ の右辺の最初の係数 $2^{8}$ を $2^{12}$ にする．

p.256, l.6

（注意）定理 4.2 のステートメントは以下のように変更するのがより正確：

種数 $g$ の閉 Riemann 面上の正則微分形式全体は， $C$ 上 $g$ 次元のベクトル空間をなす．

p.262, l.12

誤： $ψ_{0} (P) = 0$
正： $ψ_{0} (P) \neq 0$

p.262, l.-6～l.-4

誤： $\begin{aligned} l (D) & = N \\ l (D - P) & = N - 1 \\ l (D - 2 P) & = N - 2 \end{aligned}$
正：
$\begin{aligned} l (D) & = N + 1 \\ l (D - P) & = N \\ l (D - 2 P) & = N - 1 \end{aligned}$