(0,∞)で成り立つlogの級数！

527

導出を思い出すべき級数

$\log x = H_{⌊ x ⌋ + 1} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1 - (x - e^{H_{⌊ x ⌋ + 1}} + 1)^{n}}{n (e^{H_{⌊ x ⌋ + 1}} - 1)^{n}} H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

突然出されても困るわな、ワイ、導出思い出します。
たぶんねぇー、元は $\log (x + 1)$ のマクローリン展開のはずなんですよ、だってそういう形してるじゃないですか。じゃあね、とりあえず出しましょか

なんだっけ、メル〇リ級数みたいな名前のやつ

$\log (x + 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} x^{n}$

...ぜーんぜんわからん。
この謎を解明すべく、我々はアマゾンの奥地へと(ry

Two hours later...

うそん、過去の俺気持ちいい導出してるやん！

$\log (x + a) - \log (a + 1) = \int_{a}^{\infty} \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t + x} d t$
$= \int_{a}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1 - x^{n}}{t^{n + 1}} d t$
$= \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1 - x^{n}}{n a^{n}}$
$\log (x + e^{a} - 1) - a = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1 - x^{n}}{n (e^{a} - 1)^{n}}$
$\log x = a + \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1 - (x - e^{a} + 1)^{n}}{n (e^{a} - 1)^{n}}$
ここで、 $a$ は任意定数であるが、xについての関数として置き換えても以上の議論は成り立つ。
$\log x = f (x) + \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1 - (x - e^{f (x)} + 1)^{n}}{n (e^{f (x)} - 1)^{n}}$