(0,∞)で成り立つlogの級数！
$$ \log x = H_{\lfloor x\rfloor+1}+\sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n} \frac{1-(x-e^{H_{\lfloor x\rfloor+1}}+1)^n}{n(e^{H_{\lfloor x\rfloor+1}}-1)^n} \quad H_{n} = \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{k} $$
突然出されても困るわな、ワイ、導出思い出します。
たぶんねぇー、元は$\log(x+1)$のマクローリン展開のはずなんですよ、だってそういう形してるじゃないですか。じゃあね、とりあえず出しましょか
$$\log(x+1) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n}$$
...ぜーんぜんわからん。
この謎を解明すべく、我々はアマゾンの奥地へと(ry
Two hours later...
うそん、過去の俺気持ちいい導出してるやん！
$$\log(x+a)-\log(a+1)=\int^{\infty}_{a} \frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+x} dt$$
$$\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad=\int^{\infty}_{a} \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{1-x^n}{t^{n+1}}dt$$
$$\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{1-x^n}{n a^{n}}$$
$$\quad \ \log(x+e^a-1)-a=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{1-x^n}{n (e^a-1)^{n}}$$
$$\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \log x=a+\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{1-(x-e^a+1)^n}{n (e^a-1)^{n}}$$
ここで、$a$は任意定数であるが、xについての関数として置き換えても以上の議論は成り立つ。
$$\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \log x=f(x)+\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{1-(x-e^{f(x)}+1)^n}{n (e^{f(x)}-1)^{n}}$$
いろいろ代入した結果、発散速度が$\log$に近い関数だといいってわかったんだったな、だから冒頭の式かぁ...
あれ、そこって厳密に議論したんだっけ...?
ん、なんか書いてある
(調べた結果、多分$\log x$の$e^a$周りで級数展開した結果になってる)
ふぅーん...?
厳密な話は誰かに任せよっと。(おい)
余談だが、この級数は複素平面でも$a$の選び方次第で成り立っているらしく、こんな結論も出たりした。
$$\pi = \frac{22}{7} - \frac{i}{7} \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1-(-e^{22i})^n}{n(1-e^{22i})^n}$$
指数速度収束しているらしく、悪くはないがよくもない。完全に趣味の領域。
ではまた。