微分可能な任意の連続一価関数はどれくらいまでなら回転させても一価性を失わないか。

こんにちはー

今日は任意の連続な一価関数$f(x)$を原点を中心として反時計回りに$\theta$回転させていったとき、どこまでなら回転させても一価性を失わないかについて求めます。範囲は$0<\theta<\frac{\pi}{2}$とします。

例とか

$f(x)=x^2$を$\frac{\pi}{3}$回転させたグラフ
$f(x)=x^2$は無限遠点で傾きが無限大に発散するので、一度たりとも動かせられないのでアウトです。(一度でも動かすと多価関数になってしまいます。)
$f(x)=\sqrt[3]{x}$を$\frac{\pi}{3}$回転させたグラフ
$f(x)=\sqrt[3]{x}$は原点という最初から傾きが無限大に発散する点がある絶対アカン関数です。

証明

$(x,f(x))$を原点を中心として反時計回りに回転させると、
$$(X,Y)=(x\cos\theta-f(x)\sin\theta,x\sin\theta+f(x)\cos\theta)$$
$2$点$x_1< x_2$と、対応する$2$点$X_1,X_2$を考える。
$$X_2-X_1=(x_2-x_1)\cos\theta-(f(x_2)-f(x_1))\sin\theta$$
$2$点を結ぶ線の傾きは、
$$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
よって、
$$X_2-X_1=(x_2-x_1)(\cos\theta-m\sin\theta)$$
$0<\theta<\frac{\pi}{2}$とすると$X_1=X_2$なる条件は、
$$m=\cot\theta$$
よって、一価性を保つ条件は、
$$\sup_{x_1< x_2}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\cot\theta$$
中間値の定理より、
$$\sup f'(x)<\cot\theta$$
$$\theta<\arctan(\frac{1}{\sup f'(x)})$$
よって条件は、
$$\boxed{\theta<\arctan(\frac{1}{\sup f'(x)}) \operatorname{where} 0<\theta<\frac{\pi}{2}}$$
である。

確かめたり

$f(x)=x^2$の場合

$f'(x)=2x$なので、
$$\sup2x=\infty$$
よって、$$\arctan(\frac{1}{\sup 2x})=0$$なので、
$f(x)=x^2$は回転させても一価関数にはなりません。

$f(x)=\sin(x)$の場合

$f'(x)=\cos(x)$なので、
$$\sup\cos(x)=1$$
よって、$$\arctan(\frac{1}{\sup \cos(x)})=\frac{\pi}{4}$$なので、$f(x)=\sin(x)$は$\frac{\pi}{4}$まで回転させても一価関数であることが分かります。

おわりに

今回は微分可能な連続関数を反時計回りに回転させたとき、どこまでなら一価性を保つのかについて求めました。めちゃくちゃ難しいとは思いますが、微分不可能、連続でない関数とかで試してみてください。


じゃあ、また〜

余白

$0<\theta\leq2\pi$の全範囲で全ての$\theta$を求めたいと思います。
$\cot\theta$は$0<\theta<\frac{\pi}{2}$で正なので問題にならなかったのですが、今度は上限だけでなく下限も必要です。

証明

範囲が$0<\theta\leq2\pi$なので、
$$\inf_{x_1< x_2}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>\cot\theta$$
を中間値の定理を使って、
$$\inf_{x_1< x_2}f'(x)>\cot\theta$$
ここで$\cot\theta$の周期性を考える。$\cot\theta$の周期は$\pi$なので、
$$\beta=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \arctan(\frac{1}{\inf f'(x)}) & \operatorname{if} \inf f'(x)>0 \\ \frac{\pi}{2} & \operatorname{if}\inf f'(x)=0 \\ \arctan(\frac{1}{\inf f'(x)})+\pi & \operatorname{if} \inf f'(x)<0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
とする。
よって、
$$\{\pi,2\pi>\theta>\beta,\beta+\pi\}$$
上限も同様にして、
$$\boxed{\{0,\pi<\theta<\alpha,\alpha+\pi\},\{\pi,2\pi>\theta>\beta,\beta+\pi\} \operatorname{where}\alpha=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \arctan(\frac{1}{\sup f'(x)}) & \operatorname{if} \sup f'(x)>0 \\ \frac{\pi}{2} & \operatorname{if} \sup f'(x)=0 \\ \arctan(\frac{1}{\sup f'(x)})+\pi & \operatorname{if} \sup f'(x)<0 \end{array} \right. ,\beta= \left\{ \begin{array}{l} \arctan(\frac{1}{\inf f'(x)}) & \operatorname{if} \inf f'(x)>0 \\ \frac{\pi}{2} & \operatorname{if}\inf f'(x)=0 \\ \arctan(\frac{1}{\inf f'(x)})+\pi & \operatorname{if} \inf f'(x)<0 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

$f(x)=\sin(x)$の場合

$\alpha,\beta$に入れていくと、
$$0<\theta<\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}<\theta<\pi,\pi<\theta<\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}<\theta<2\pi$$となります。