積分の体系化(0)

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はじめに

積分の問題を見たとき、皆さんは最初に何を考えるだろうか。
「何を置換するか」「部分積分が使えないか」「どの公式を当てはめるか」など、考え方は人それぞれだと思う。
私の場合、まず考えるのは、「この被積分関数は、何を微分したら現れるのか」ということだ。
原始関数の形を予想し、微分して係数を合わせる。それが難しければ、積の微分を逆向きに利用できないか考える。それでも見通しが立たなければ、既に知っている積分の形に持ち込むための式変形や置換を探す。
こうした考え方を身につけると、複雑に見える積分でも、ほとんど計算せずに答えが分かることがある。
もちろん、すべての積分が簡単に解けるわけではない。しかし、積分を解くうえで重要なのは、計算を速く行うこと以上に、そもそも計算しなくてよい部分を見つけることだと考えている。
この記事では、私が普段積分を解く際に意識していることを、できる限り具体的に言語化していきたい。
特に重視するのは、なぜその原始関数を予想できるのか、なぜその置換を思いつくのか、そして複数の解法から何を基準に選ぶのか、という部分である。
主な対象はINTEGRALISに挑戦する方だが、大学入試の積分にも役に立つ内容に仕上げた。

第0章　積分の基本的な考え方

0.1　既知形への帰着

積分を解く際、私が最も大切にしている考え方がある。
積分とは、未知の形を既知の形に帰着させることである。
例えば、次の積分を考える。
$$ \int\frac{2x}{1+x^4}\,dx $$
ここで、
$$ t=x^2 $$
と置換してもよい。しかし、
$$ \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2} $$
という既知の微分公式を思い出せば、分母の四次式と分子の一次式が一つの構造として見えてくる。
その結果、
$$ \int\frac{2x}{1+x^4}\,dx=\arctan(x^2)+C $$
と求められる。
このとき行っているのは、特別な計算ではない。既に知っている微分の形を、少し広く捉えているだけである。
そもそも、置換積分も部分積分も、元をたどれば合成関数や積の微分を逆向きに利用したものである。
したがって、まずは既知の微分・積分の構造をどれだけ認識できるかが重要になる。

0.2　既知形の一般化

では、既知の形を増やすとはどういうことだろうか。
もちろん、さまざまな公式や典型的な積分を覚えることも大切である。しかし、それと同じくらい重要なのが、一つの既知形を拡大解釈して、認識できる範囲を広げることだ。
例えば、
$$ \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2} $$
を知っていれば、合成関数の微分法から、
$$ \frac{d}{dx}\arctan f(x)=\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} $$
という形まで一般化できる。
ここまで理解していれば、
$$ \int\frac{2x+1}{(x^2+x+2)\{1+\ln^2(x^2+x+2)\}}\,dx $$
という積分を見ても、分母の複雑さに惑わされる必要はない。
$$ f(x)=\ln(x^2+x+2) $$
という一つの塊を見つければ、先ほどの既知形と同じ構造を持っていることが分かる。
したがって、
$$ \begin{aligned} &\int\frac{2x+1}{(x^2+x+2)\{1+\ln^2(x^2+x+2)\}}\,dx\\ &=\arctan\{\ln(x^2+x+2)\}+C \end{aligned} $$
となる。
重要なのは、この積分の答えそのものを覚えることではない。
既知の関数の中に別の関数が入り込んでも、微分構造さえ一致していれば同じように扱えるという考え方を習得することである。
一つの公式から多くの積分を認識できるようになれば、覚えるべき個別の公式を無制限に増やす必要はなくなる。
つまり、既知形を増やすことと、既知形を拡大解釈することは、互いに補い合う学習方法なのである。

0.3　原始関数の予測

通常、微分では与えられた関数の導関数を求める。
一方、積分では導関数に相当する式が与えられ、そこから元の関数を探すことになる。
それなら、最初から原始関数になりそうな形を予測して、その微分が被積分関数と一致するか調べればよい。
これは特別な発想というより、積分を微分の逆操作として捉えた、ごく自然な考え方である。
例えば、指数関数と多項式の積が現れたなら、原始関数もそれらの積になっている可能性を考える。分母にある式とその微分が現れたなら、対数関数や逆三角関数の微分形を疑う。
また、積の微分を逆向きに利用すれば、通常の部分積分を逐一書かずに処理できる場合もある。
本記事では、こうした考え方を微分形接触や瞬間部分積分といった手法を通して整理していく。
さらに、それらを直接適用できないときには、何を目標に式を変形するのか、どのように置換を設計するのかも考えていく。
ここで忘れてはならないのは、置換の目的は、既知の形や扱いやすい形へ帰着させることだという点である。
ごく当たり前のことに思えるかもしれないが、積分を前にして「何と置換するか」ばかりを考え、かえって視野が狭くなってしまうことがある。
大切なのは、何を置換するかではなく、その置換によって何を簡単にしたいのか、どのような形に帰着させたいのかを考えることである。この点は常に意識してほしい。

0.4　定積分の性質

ここまでは主に原始関数の話をしてきたが、定積分では少し事情が異なる。
定積分の場合、原始関数を求めずに値を決定できることがあるからだ。
例えば、
$$ I=\int_0^1\frac{x^2}{x^2+(1-x)^2}\,dx $$
を考える。
この積分を直接計算しようとすると、少々面倒な式変形が必要になる。
しかし、積分区間が0から1であることに着目し、
$$ x\mapsto1-x $$
と変数を置き換えると、
$$ I=\int_0^1\frac{(1-x)^2}{x^2+(1-x)^2}\,dx $$
となる。
これらを加えれば、
$$ 2I=\int_0^1 1\,dx=1 $$
よって、
$$ I=\frac12 $$
と求まる。
ここでは原始関数を一切求めていない。
被積分関数だけでなく、積分区間の対称性を利用することで、計算そのものを不要にしたのである。
このように、定積分では被積分関数だけでなく、積分区間にも目を向けることが重要である。
特に、変数を変換したときに積分区間や被積分関数がどのように変化するかを調べることで、元の積分との関係が見えてくる場合がある。
対称性や周期性などは、その代表例である。これらをうまく利用すれば、原始関数を求めることなく積分値を決定できることもある。

0.5　本記事の目標

本記事では、既知形の認識から始まり、原始関数の予測、微分形接触、部分積分、置換の発見といった考え方を順に扱っていく。
重要なのは、個々の問題の解法を覚えることではなく、未知の問題に対しても自分で解法を組み立てられるようになることである。
最終的な目標は、この記事を読み終えた読者が、初等関数で解ける積分に困らなくなることだ。