5^n と 5^n+4^n の十進桁数が異なるような正整数 n は高々有限個である

背理法で示す。仮に $\mu(\log_{10} \alpha) = \infty$ になると仮定する。このとき、無理数度の定義からいかなる正の実数 $\nu$ に対しても、$q \ge 2$ を満たす既約分数 $p/q$ が無限に存在して $P(\log_{10} \alpha,p/q) > \nu$ となる。
すなわち
\begin{align} \left|\log_{10} \alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-\nu} \end{align}
が成り立つ。底の変換公式より
\begin{align} |q \log \alpha - p \log 10| < (\log 10) q^{1-\nu} \end{align}
を得る。
背理法の仮定から $\left|\log_{10} \alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-\nu}$ であり、$\nu > 0$ かつ $q \ge 2$ より $q^{-\nu} < 1$ である。これと三角不等式を用いると、
\begin{align} \left|\frac{p}{q}\right| - |\log_{10} \alpha| \le \left|\log_{10} \alpha - \frac{p}{q}\right| < 1 \end{align}
すなわち $|p| < q (|\log_{10} \alpha| + 1)$ と評価できる。また、 $q,-p$ の高さは $B = \max(|p|,q)$ 以下であり、 $c = \max(1, |\log_{10} \alpha| + 1)$ とおけば、$c$ は $p$ や $q$ に依存しない正の定数で、$B \leq cq$ が成り立つ。

さらに、$\log_{10}\alpha$ は無理数なので $|q \log \alpha - p \log 10| \neq 0$ で、さらに $q, -p$ は整数であるためその次数は常に $1$ である。したがって Baker の定理より、$p$ や $q$ に依存せず $\alpha$ のみに依存する正の定数 $C$ が存在して、
\begin{align} |q \log \alpha - p \log 10| > B^{-C} \geq (cq)^{-C} \end{align}
が成り立つ。

背理法の仮定より、いかなる $\nu$ を選んでも条件を満たす $p/q$ が無数に存在するはずである。そこで、特に $\nu = C+2$ とする。このとき不等式
\begin{align} \left|\log_{10} \alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-(C+2)} \end{align}
を満たす近似分数 $p/q$ が無数に存在する。

ここで、 $q$ の値がある定数 $Q$ 以下に限られると仮定すると、$|p| < q(|\log_{10}\alpha| + 1) \le Q(|\log_{10}\alpha| + 1)$ となり、$q$ も $p$ も有限通りしか選べない。すると近似分数 $p/q$ が有限個しか存在しないことになり、これは $p/q$ が無数に存在するという仮定に矛盾する。

したがって、無数に存在する $p/q$ の中から $q$ が十分大きいものを選ぶことができる。このとき2つの評価を組み合わせると、
\begin{align} (cq)^{-C} < (\log 10) q^{1-(C+2)} \end{align}
すなわち
\begin{align} c^{-C} q < \log 10 \end{align}
となるが、$q$ が十分に大きければこれは明らかに成り立たず、矛盾。
したがって $\mu(\log_{10}\alpha) < \infty$ であることが示された。

$\alpha^n$ の桁数は $\lfloor n\log_{10} \alpha \rfloor + 1$ で与えられる。$\alpha^n + \beta^n$ の桁数がこれと異なるということは、
\begin{align} \log_{10} (\alpha^n + \beta^n) \geq \lfloor n\log_{10} \alpha \rfloor + 1 \end{align}
を満たすことと同値である。よって、これを満たす正整数 $n$ が高々有限個であることを示せばよい。
$x$ の小数部分を $\mathrm{frac}(x) = x - \lfloor x \rfloor$ とすると、
\begin{align} \log_{10} (\alpha^n + \beta^n) &= \log_{10} \left( \alpha^n \left\{ 1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^n \right\} \right) \\ &= \lfloor n\log_{10} \alpha \rfloor + \mathrm{frac}(n\log_{10} \alpha) + \log_{10} \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^n \right\} \end{align}
とできる。これを代入して整理すると
\begin{align} \log_{10} \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^n \right\} \geq 1 - \mathrm{frac}(n\log_{10} \alpha) \end{align}
となる。

ここで、この不等式を満たす $n$ が無数に存在すると仮定し、条件を満たす $k$ 番目に小さい正整数を $n_k$ とおく。
このとき　$\mathrm{frac}(n_k \log_{10} \alpha) = n_k \log_{10} \alpha - \lfloor n_k \log_{10} \alpha \rfloor$ より、
\begin{align} 1 + \lfloor n_k \log_{10} \alpha \rfloor - n_k \log_{10} \alpha \leq \log_{10} \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} \right\} \end{align}
両辺を $n_k$ で割り、移項して絶対値をとると以下のようになる。
\begin{align} 0 < \left|\log_{10} \alpha - \frac{\lfloor n_k \log_{10} \alpha \rfloor + 1}{n_k}\right| \leq \frac{1}{n_k} \log_{10} \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} \right\} \end{align}
ここで、$x>0$ において成り立つ不等式 $\log(1+x) < x$ を用いると、
\begin{align} \frac{1}{n_k} \log_{10} \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} \right\} = \frac{1}{n_k \log 10} \log \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} \right\} < \frac{1}{n_k \log 10} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} \end{align}
と評価できる。
$\alpha > \beta > 0$ より $0 < \frac{\beta}{\alpha} < 1$ であるため、任意の正の実数 $\nu$ に対し、ある正の実数 $M$ が存在し、$n > M$ を満たす任意の正整数 $n$ に対して
\begin{align} n^{\nu-1} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n < \log 10 \end{align}
が成立する。
背理法の仮定より、$n_k$ は条件を満たす正整数を小さい順に並べた数列であるため、$k \to \infty$ のとき $n_k \to \infty$ となる。したがって、ある正整数 $K$ が存在し、$k > K$ ならば $n_k > M$ となる。
このとき上の不等式の $n$ に $n_k$ を代入し、両辺を ${n_k}^\nu \log 10$ で割ることで、
\begin{align} \frac{1}{n_k \log 10} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} < n_k^{-\nu} \end{align}
がわかる。

1. $\log_{10}\alpha$ が無理数の場合
   補題より $\log_{10}\alpha$ の無理数度 $\mu(\log_{10}\alpha)$ は有限である。そこで、 $\nu = \mu(\log_{10}\alpha) + 1$ とする。
   先の議論から、この $\nu$ についても十分大きな $k$ に対しては
   \begin{align} \frac{1}{n_k \log 10} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} < n_k^{-\nu} \end{align}
   が成り立つ。
   ここで $\frac{\lfloor n_k \log_{10} \alpha \rfloor + 1}{n_k}$ を既約分数に約分したものを $\frac{p_k}{q_k}$ とおくと、$q_k \le n_k$ であるため、
   \begin{align} \left|\log_{10} \alpha - \frac{p_k}{q_k}\right| < n_k^{-\nu} \le q_k^{-\nu} \end{align}
   が十分大きな $k$ について成り立つ。
   $k \to \infty$ のとき $n_k \to \infty$ であり $n_k^{-\nu} \to 0$ となるため、先の不等式より $\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{p_k}{q_k} = \log_{10} \alpha$ が成り立つ。
   ここで、数列 $\left\{\frac{p_k}{q_k}\right\}$ に含まれる相異なる値が有限個しか存在しないと仮定する。すると、少なくとも1つの有理数 $r$ が数列中に無限回現れることになり、その部分列の極限も $r$ となる。しかしこれは $\left\{\frac{p_k}{q_k}\right\}$ の収束性から $\log_{10}\alpha = r$ を意味し、$\log_{10}\alpha$ が無理数であることに矛盾する。
   したがって、数列 $\left\{\frac{p_k}{q_k}\right\}$ の中には相異なる値が無数に含まれていることがわかる。
   よって、不等式
   \begin{align} \left|\log_{10} \alpha - \frac{p_k}{q_k}\right| < q_k^{-\nu} \end{align}
   を満たす相異なる既約分数 $p_k/q_k$ が無数に存在するが、$\nu = \mu(\log_{10}\alpha) + 1 > \mu(\log_{10}\alpha)$ と設定したため、無理数度の定義によればそのような有理数は高々有限個しか存在しないはずであり、矛盾する。

2. $\log_{10}\alpha$ が有理数の場合
   $\log_{10}\alpha = p/q$ ($p,q$ は整数、$q>0$)とおく。
   このとき$\mathrm{frac}(n_k \log_{10}\alpha) = \mathrm{frac}\left(n_k \frac{p}{q}\right)$ のとり得る値は $0, \frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}$ のいずれかに限られる。
   したがって、$1 - \mathrm{frac}(n_k \log_{10} \alpha) \geq \frac{1}{q}$ が常に成り立つ。
   一方で、$0 < \frac{\beta}{\alpha} < 1$ より $\log_{10}\left\{1+\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n_k}\right\}$ は $n_k \to \infty$ で $0$ に収束する。そのため、十分大きな $k$ においては
   \begin{align} \log_{10} \left\{1+\left( \frac{\beta}{\alpha}\right) ^{n_k} \right\} \geq \frac{1}{q} \end{align}
   を満たすことができなくなる。これは不等式を満たす $n_k$ が無数に存在するという仮定に矛盾する。

以上より、いかなる場合でも矛盾が導かれたため、桁数が異なる正整数 $n$ は高々有限個であることが示された。