過去最高にきれいな作問!!

特にテーマとかはありませんが、過去最高にきれいな問題ができたので自慢するために投稿しました。
一応この問題自体は別記事でも扱ってるんですけど、この問題が好きすぎるので、個別で投稿します。

特段難しくはない、というか簡単なんですけど、素数の定義と階乗の定義だけで、このよくわからん問題を解けるので、是非解いてみて下さい。

回答

最初に階乗の定義から、$n \geq m$ならば、$n!$が因数に$m$を含むことが自明なので、左辺は$m$で括れる。このとき、$m(\frac{n!}{m}+1)=p^{2}$であり、素数の定義から、$m=1またはm=pまたはm=p^{2}$であり、$m=1$は定義から不適、$m=p^2$を代入すると、$n!+p^2=p^{2}$つまり、$n!=0$で階乗の定義からこれも不適、よって$m=p$であり、代入する。$n!+p=p^{2}$これを式変形し、$n!=p(p-1)$であり、$n!$が$p$を約数に持つことがわかる。勿論階乗の定義から、このとき、$n!$は$p-1$も約数に持つため、$n=p$であり、この等式を満たすのは$p-1=1またはp-2=1$を満たす$p$である。この式を計算することで、$p=m=n=3,2$であり、これは定義を満たすので、解は$(n,m,p)=(2,2,2),(3,3,3)$である。

自己満で推しポイント紹介

上に書いた程度ではこの問題のきれいさが語り尽くせてないので、ここで語ります。普通に飛ばしていいです。
まず、この問題は、素数、階乗、未知数3個という、見た目だけで言えば、めちゃ難しそうなんですが、解法を見ればわかるように、それぞれ、基本的な素数の定義、階乗の定義のみを使って整理でき、しかも、その整理の段階で、未知数を消していくという、数学の問題において最も基本的な解法を使っているわけです。しかも、未知数を消していったら、最終的に全ての未知数が同じ数であったという素晴らしさ、しかも、最終的に幾つかの数で実験する必要もなく、簡単に解が出てくるという簡便さ、そして、出てくる解はまさか、素数の中で最も基本的かつ有名な2と3な訳です。そもそもこの問題は見た目がシンプルできれいですから、問題を見たときのワクワクもあります。まぁ兎に角すばらしい問題ってことです。

最後に

一応ネタバレをしてしまうと、この問題自体は ブロカール・ラマヌジャンの問題 という未解決問題を解ける形に直したに過ぎないんですが、それがとてもきれいな形になったので、投稿させていただきました。

追記
改めて見ると、最初の方とかは変なテンションで書いてますし、そもそもが自己満の記事なので恥ずかしいですね(笑)