圏の定義と自然変換のイメージ
0. はじめに
私が初めて圏論を勉強したとき, 自然変換はよくわからない概念の1つでした. そこで, 私が納得した自然変換の解釈についての記事を書かせていただきました. (具体例などが少ないので, それを知りたい場合にはTopos Theorynakamuraや壱大整域alg-dを確認していただければ幸いです. )
1. 圏の定義と関手
$\mathcal C$が圏(category)であるとは, 対象(object)のクラス$\mathrm{Ob}(\mathcal C)$と, 射(morphism, arrow)のクラス$\mathrm{Mor}(\mathcal C)$が与えられていて, 以下の条件が満たされているときをいう.
- 2つのクラスの写像$\mathrm{dom},\mathrm{cod}:\mathrm{Mor}(\mathcal C)\to\mathrm{Ob}(\mathcal C)$が与えられている. それぞれドメイン(domain), コドメイン(codomain)という. ここで, $f\in\mathrm{Mor}(\mathcal C)$の中で, $\mathrm{dom}(f)=a,\ \mathrm{cod}(f)=b$となる射全体のクラスを$\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(a,b)$とかく. これをhomクラス(hom-class)(集合の場合はhom集合(hom-set))という. また, $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(a,b)$と書くかわりに$f:a\to b$とも書く.
- $f,g\in\mathrm{Mor}(\mathcal C)$に対して, $f$のコドメインと$g$のドメインが一致するとき, つまり$f:a\to b$と$g:b\to c$のような場合に, 合成(composition) $g\circ f:a\to c$が存在する.
- 合成は結合的である. つまり, 任意の$f:a\to b,\ g:b\to c,\ h:c\to d$に対して,
\begin{align} (h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f) \end{align}
となる. - 任意の$a\in \mathrm{Ob}(\mathcal C)$に対して, $\mathrm{id}_a:a\to a$が存在し, 以下をみたす: 任意の$f:a\to b$に対して
\begin{align} f\circ \mathrm{id}_a=\mathrm{id}_b\circ f=f. \end{align}
このような射$\mathrm{id}_a$を恒等射(identity morphism)という.
任意の対象$a,b$に対して$\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(a,b)$が集合である場合, $\mathcal C$は局所小圏(locally small category)であるといい, $\mathrm{Mor}(\mathcal C)$が集合である場合, $\mathcal C$は小圏(small category)であるという.
この記事では断りのない限り, 「圏」と言ったときには「局所小圏」を意味する.
$\mathcal C,\ \mathcal D$をそれぞれ圏とする. $F:\mathcal C\to\mathcal D$が関手(functor)であるとは, 以下の性質を満たすもののことである.
- $F$は対象のクラス間の写像を与える. つまり
\begin{align} F:\mathrm{Ob}(\mathcal C)\to \mathrm{Ob}(\mathcal D). \end{align}
$a\in\mathrm{Ob}(\mathcal C)$に対して, $F(a)$を単に$Fa$などと書く. - $F$はhom集合間の写像を与える. つまり, 任意の$a,b\in\mathrm{Ob}(\mathcal C)$に対して
\begin{align} F:\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(a,b)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal D}(Fa,Fb). \end{align}
$f\in\mathrm{Mor}(\mathcal C)$に対して, $F(f)$を単に$Ff$などと書く. - 合成を保存する. つまり,
\begin{align} F(f\circ g)=Ff\circ Fg. \end{align} - 恒等射は恒等射に写す. つまり,
\begin{align} F\mathrm{id}_a=\mathrm{id}_{Fa}. \end{align}
hom集合間の写像をみると, これは圏の間の準同型(homomorphism)を与えていると考えることができる.
2. 図式としての関手と自然変換
次に, 図式を定義する.
$\mathcal J$を小圏, $\mathcal C$を圏とする. このとき関手$F:\mathcal J\to \mathcal C$を, 形が$\mathcal J$である$\mathcal C$での図式(diagram)という. このとき, $\mathcal J$を添字圏(index category)という.
以下の図1のように, 小圏として$\mathcal J=(0\to 1\leftarrow 2)$を選び($\mathrm{id}$などは省略している), $F:\mathcal J\to \mathcal C$を選ぶと, これは圏$\mathcal C$内の, $\mathcal J$の形をした対象と射を選び出すことに等しいことがわかる. また, 別の関手$G:\mathcal J\to \mathcal C$を選べば, 別の$\mathcal J$の形をした対象と射を選び出すことになる.
関手(図式)のイメージ
図式$F:\mathcal J\to \mathcal C$が可換(commutative)であるとは, 任意の$\mathcal J$内の射$f,g:j_0\to j_1$に対して$Ff=Fg$となるときをいう. 可換な図式のことを可換図式(commutative diagram)という.
可換図式の具体例を挙げる.
以下の図式が可換であるとは, $g\circ f=h$を意味する.
\begin{xy}
\xymatrix{
a\ar[r]^f\ar[dr]_h&b\ar[d]^g\\
&c
}
\end{xy}
ここで, 上の図式を描いたときには, 添字圏$\mathcal J$は暗黙のうちに下の形の圏を指定したことになる.
\begin{xy}
\xymatrix{
\bullet\ar[r]\ar[dr]&\bullet\ar[d]\\
&\bullet
}
\end{xy}
$\mathcal C,\ \mathcal D$を圏, $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$を関手とする. このとき$\mathcal D$内の射の組$\{\phi_a:Fa\to Ga\}_{a\in\mathrm{Ob}(\mathcal C)}$が自然変換(natural transformation)であるとは, 任意の$a,b\in\mathrm{Ob}(\mathcal C),\ f:a\to b$に対して以下の図式が可換であるときをいう.
\begin{xy}
\xymatrix{
Fa\ar[r]^{Ff}\ar[d]_{\phi_a}&Fb\ar[d]^{\phi_b}\\
Ga\ar[r]_{Gf}&Gb
}
\end{xy}
自然変換を$\{\phi_a:Fa\to Ga\}_{a\in\mathrm{Ob}(\mathcal C)}$と書くかわりに, $\phi:F\Rightarrow G$と書いたりする.
自然変換は図にすると図2のようになる. 小圏として$\mathcal J=(0\to 1\leftarrow 2)$を選び, 図式$F,G:\mathcal J\to \mathcal C$を固定したとき, 自然変換$\phi:F\Rightarrow G$とは2つの図式$F$と$G$を結ぶ射の集まりで, 整合性のあるもの(可換性のあるもの)と理解することができる.
自然変換のイメージ
3. おわりに
自然変換を, 「図式と図式を結ぶ射の集まりで, 整合性のあるもの」と理解すると, 今後自然変換に関する命題(例えば, 米田の補題など)が現れたとしても, 落ち着いて図式を2つ描き, その間を結ぶ射の集まりを描くことができれば理解が格段にしやすくなると思います.
