コラッツ予想について考えたこと（前編）

まえがき

コラッツ予想については以前、書籍かなにかで目にしており、名前と内容くらいは知っていました。よくある「小学生でも内容は理解できるけど実は超難問」の類かと思い（実際そうなのですが）、まあ生きているうちに誰かが解決したら良いなあ、と思っています。
最近では高額な懸賞金が掛けられたとニュースになったりNHKの番組で取り上げられたりして、少し話題になっているようですね。
僕もいろいろ考えてみたので記録として残しておきます。

僕のこと

数学とは関係ない仕事をしている会社員です。
いちおう数学科出身ですが、不真面目な学生だったので数学の能力は「高校数学＋α」程度です。現在も特に数学の勉強をしているわけではありません。たまに一般向けの数学の本を読んだりするくらいです。
今回も先行する研究などは調べていないので（調べ方がわからない…）もしかしたら当たり前のことを書いているだけかもしれません。
始めて投稿するので見にくいかもしれませんがご容赦ください。
以下、本題です。

コラッツ予想とは

みなさんご存じかと思いますが。
$$f(n)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n/2\text{if}n\equiv 0\mathrm{mod}2\\ 3n+1\text{otherwise}\end{array}\end{array}$$
という関数を繰り返し適用していくと、どんな$n\in {\mathbb{N}}^{+}$から始めても1になるだろう、という予想です。
$n$が奇数の時$3n+1$は偶数になるので、$f(n)$を以下のように書き換えても本質的には変わりません。
$$f(n)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n/2\text{if}n\equiv 0\mathrm{mod}2\\ (3n+1)/2\text{otherwise}\end{array}\end{array}$$

一般化してみます

気になるのが$f(n)$にある$\mathrm{mod}2$のところです。これ$\mathrm{mod}3$とか$4$とか$5$とかではどうなのかと。
ちょっと試したところ例えば$\mathrm{mod}5$については、こんな感じでも良さそうです。

例）
$12\to 14\to 17\to 20\to 4\to 5\to 1$
$16\to 19\to 23\to 27\to 32\to 38\to 45\to 9\to 11\to 13\to 15\to 3$
$\mathrm{mod}10$まで試したところ、$n\le 10000$では成り立っていました。
というわけで、気が早いですが以下の予想が立てられます。

まあ直感的には$m$が大きくなればより収束しやすくなる気がします。
さてこの話はここまでにして、次はおおもとのコラッツ予想を考察してみます。
長くなるので別の記事にまとめます。