コラッツ予想について考えたこと（前編）
まえがき
コラッツ予想については以前、書籍かなにかで目にしており、名前と内容くらいは知っていました。よくある「小学生でも内容は理解できるけど実は超難問」の類かと思い（実際そうなのですが）、まあ生きているうちに誰かが解決したら良いなあ、と思っています。
最近では高額な懸賞金が掛けられたとニュースになったりNHKの番組で取り上げられたりして、少し話題になっているようですね。
僕もいろいろ考えてみたので記録として残しておきます。
僕のこと
数学とは関係ない仕事をしている会社員です。
いちおう数学科出身ですが、不真面目な学生だったので数学の能力は「高校数学＋α」程度です。現在も特に数学の勉強をしているわけではありません。たまに一般向けの数学の本を読んだりするくらいです。
今回も先行する研究などは調べていないので（調べ方がわからない…）もしかしたら当たり前のことを書いているだけかもしれません。
始めて投稿するので見にくいかもしれませんがご容赦ください。
以下、本題です。
コラッツ予想とは
みなさんご存じかと思いますが。
$$
f(n)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n/2 \quad \text{if} \ n \equiv 0 \mod2 \\
3n+1 \quad \text{otherwise}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
という関数を繰り返し適用していくと、どんな$n \in \mathbb{N} ^{+}$から始めても1になるだろう、という予想です。
$n$が奇数の時$3n+1$は偶数になるので、$f(n)$を以下のように書き換えても本質的には変わりません。
$$
f(n)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n/2 \quad \text{if} \ n \equiv 0 \mod2 \\
(3n+1)/2 \quad \text{otherwise}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
一般化してみます
気になるのが$f(n)$にある$\mod2$のところです。これ$\mod3$とか$4$とか$5$とかではどうなのかと。
ちょっと試したところ例えば$\mod5$については、こんな感じでも良さそうです。
$$
f_{5} (n)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n/5 \quad \text{if} \ n \equiv 0 \mod5 \\
(6n-1)/5 \quad \text{if} \ n \equiv 1 \mod5 \\
(6n-2)/5 \quad \text{if} \ n \equiv 2 \mod5 \\
(6n-3)/5 \quad \text{if} \ n \equiv 3 \mod5 \\
(6n+1)/5 \quad \text{if} \ n \equiv 4 \mod5 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
$\text{とするとき、任意の}n \in \mathbb{N} ^{+}\text{に対し}f_{5}^k(n) \in \{1, 2, 3\}\text{となる}k \in \mathbb{N}\text{が存在する}$
例）
$12→14→17→20→4→5→1$
$16→19→23→27→32→38→45→9→11→13→15→3$
$\mod10$まで試したところ、$ n \leq 10000$では成り立っていました。
というわけで、気が早いですが以下の予想が立てられます。
$$
f_{m} (n)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n/m \quad \text{if} \ n \equiv 0 \mod m \\
((m+1)n+1)/m \quad \text{if} \ n \equiv m-1 \mod m \\
((m+1)n-(n \mod m))/m \quad \text{otherwise} \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
$\text{とするとき、任意の}n \in \mathbb{N} ^{+}\text{に対し}f_{m}^k(n) \in \{1, 2, \cdots , m-2\}\text{となる}k \in \mathbb{N}\text{が存在する}$
まあ直感的には$m$が大きくなればより収束しやすくなる気がします。
さてこの話はここまでにして、次はおおもとのコラッツ予想を考察してみます。
長くなるので別の記事にまとめます。
